Función de distribución acumulativa

En teoría de probabilidad y estadística , la función de distribución acumulada ( CDF ) de una variable aleatoria de valor real , o simplemente la función de distribución de , evaluada en , es la probabilidad que tomará un valor menor o igual a . ^[1] ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x}$

Cada distribución de probabilidad apoyada en números reales, discreta o "mixta", así como continua, se identifica de forma única por una función de distribución acumulativa creciente continua hacia arriba ^{[2] que} satisface y . ${\ displaystyle F: \ mathbb {R} \ rightarrow [0,1]}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow - \ infty} F (x) = 0}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} F (x) = 1}$

En el caso de una distribución continua escalar , da el área bajo la función de densidad de probabilidad desde menos infinito hasta . Las funciones de distribución acumulativa también se utilizan para especificar la distribución de variables aleatorias multivariadas . ${\ Displaystyle x}$

La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de valor real es la función dada por ^[3]^{: p.}⁷⁷ ${\ Displaystyle X}$

donde el lado derecho representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a . La probabilidad que se encuentra en el intervalo semicerrado , donde , es por tanto ^[3]^{: p.}⁸⁴ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle (a, b]}$ ${\ Displaystyle a <b}$

En la definición anterior, el signo "menor o igual a", "≤", es una convención, no una de uso universal (por ejemplo, la literatura húngara usa "<"), pero la distinción es importante para distribuciones discretas. El uso adecuado de las tablas de las distribuciones binomial y de Poisson depende de esta convención. Además, fórmulas importantes como la fórmula de inversión de Paul Lévy para la función característica también se basan en la formulación "menor o igual que".

Función de distribución acumulada para la distribución exponencial

Función de distribución acumulada para la distribución normal

De arriba a abajo, la función de distribución acumulativa de una distribución de probabilidad discreta, una distribución de probabilidad continua y una distribución que tiene tanto una parte continua como una parte discreta.

Ejemplo de distribución acumulada plegada para una función de distribución normal con un valor esperado de 0 y una desviación estándar de 1.