En matemáticas , el soporte (a veces soporte topológico o espectro ) de una medida μ en un espacio topológico medible ( X , Borel ( X )) es una noción precisa de dónde en el espacio X "vive" la medida. Se define como el subconjunto más grande ( cerrado ) de X para el cual cada vecindario abierto de cada punto del conjunto tiene una medida positiva.
Motivación
Una medida (no negativa) en un espacio medible es realmente una función . Por tanto, en términos de la definición habitual de apoyo , el apoyo dees un subconjunto del σ-álgebra :
donde la barra superior denota el cierre del conjunto . Sin embargo, esta definición es algo insatisfactoria: usamos la noción de cierre, pero ni siquiera tenemos una topología en. Lo que realmente queremos saber es en qué parte del espacio la medida no es cero. Considere dos ejemplos:
- Medida de Lebesgue en la linea real . Parece claro que "vive en" toda la línea real.
- Una medida de Dirac en algún momento . Una vez más, la intuición sugiere que la medida "vive en" el punto y en ningún otro lugar.
A la luz de estos dos ejemplos, podemos rechazar las siguientes definiciones candidatas a favor de la de la siguiente sección:
- Podríamos eliminar los puntos donde es cero, y consideramos que el soporte es el resto . Esto podría funcionar para la medida de Dirac., pero definitivamente no funcionaría para : dado que la medida de Lebesgue de cualquier singleton es cero, esta definición daría soporte vacío.
- En comparación con la noción de positividad estricta de las medidas, podríamos considerar que el soporte es el conjunto de todos los puntos con una vecindad de medida positiva:
- (o el cierre de este). También es demasiado simplista: al tomar para todos los puntos , esto haría que todas las medidas, excepto la medida cero, respaldaran la totalidad de .
Sin embargo, la idea de "positividad estricta local" no está demasiado lejos de una definición viable:
Definición
Sea ( X , T ) un espacio topológico ; sea B ( T ) denota el Borel σ-álgebra en X , es decir, el álgebra más pequeña sigma en X que contiene todos los conjuntos abiertos U ∈ T . Sea μ una medida en ( X , B ( T )). Entonces, el soporte (o espectro ) de μ se define como el conjunto de todos los puntos x en X para los cuales cada vecindario abierto N x de x tiene una medida positiva :
Algunos autores prefieren tomar el cierre del conjunto anterior. Sin embargo, esto no es necesario: consulte "Propiedades" a continuación.
Una definición equivalente de soporte es como el mayor C ∈ B ( T ) (con respecto a la inclusión) de modo que todo conjunto abierto que tenga una intersección no vacía con C tiene una medida positiva, es decir, el C más grande tal que:
Propiedades
- Una medida μ en X es estrictamente positivo si y sólo si se cuenta con el apoyo supp ( μ ) = X . Si μ es estrictamente positivo y x ∈ X es arbitrario, entonces cualquier vecindad abierta de x , dado que es un conjunto abierto , tiene una medida positiva; Por lo tanto, x ∈ supp ( μ ), de modo supp ( μ ) = X . Por el contrario, si sup ( μ ) = X , entonces todo conjunto abierto no vacío (siendo una vecindad abierta de algún punto en su interior, que también es un punto del soporte) tiene medida positiva; por tanto, μ es estrictamente positivo.
- El soporte de una medida se cierra en X ya que su complemento es la unión de los conjuntos abiertos de medida 0.
- En general, el soporte de una medida distinta de cero puede estar vacío: consulte los ejemplos a continuación. Sin embargo, si X es un espacio de Hausdorff topológico y μ es una medida de radón , un conjunto medible A fuera del soporte tiene medida cero :
- Lo contrario es cierto si A está abierto, pero no es cierto en general: falla si existe un punto x ∈ sup ( μ ) tal que μ ({ x }) = 0 (por ejemplo, medida de Lebesgue).
- Por lo tanto, no es necesario "integrar fuera del soporte": para cualquier función medible f : X → R o C ,
- El concepto de soporte de una medida y el de espectro de un operador lineal autoadjunto en un espacio de Hilbert están estrechamente relacionados. De hecho, sies una medida de Borel regular en la línea, luego el operador de multiplicación es autoadjunto en su dominio natural
- y su espectro coincide con el rango esencial de la función de identidad , que es precisamente el apoyo de . [1]
Ejemplos de
Medida de Lebesgue
En el caso de Lebesgue medida λ en la recta real R , considere un punto arbitrario x ∈ R . Entonces, cualquier vecindario abierto N x de x debe contener algún intervalo abierto ( x - ε , x + ε ) para algunos ε > 0. Este intervalo tiene una medida de Lebesgue 2 ε > 0, entonces λ ( N x ) ≥ 2 ε > 0. Desde x ∈ R fue arbitraria, supp ( λ ) = R .
Medida de Dirac
En el caso de Dirac, mida δ p , sea x ∈ R y considere dos casos:
- si x = p , entonces cada vecindario abierto N x de x contiene p , entonces δ p ( N x ) = 1> 0;
- por otro lado, si x ≠ p , entonces existe una bola abierta B suficientemente pequeña alrededor de x que no contiene p , entonces δ p ( B ) = 0.
Concluimos que sup ( δ p ) es el cierre del conjunto singleton { p }, que es { p } en sí mismo.
De hecho, una medida μ en la línea real es una medida de Dirac δ p para algún punto p si y solo si el soporte de μ es el conjunto singleton { p }. En consecuencia, la medida de Dirac en la línea real es la única medida con varianza cero [siempre que la medida tenga alguna varianza].
Una distribución uniforme
Considere la medida μ en la línea real R definida por
es decir, una medida uniforme en el intervalo abierto (0, 1). Un argumento similar al ejemplo de la medida de Dirac muestra que supp ( μ ) = [0, 1]. Tenga en cuenta que los puntos de los límites 0 y 1 se encuentran en el soporte: cualquier conjunto abierto que contiene 0 (o 1) contiene un intervalo abierto sobre 0 (o 1), que deben intersectar (0, 1), y así debe tener positiva μ -medida .
Una medida no trivial cuyo soporte está vacío
El espacio de todos los ordinales contables con la topología generada por "intervalos abiertos", es un espacio de Hausdorff localmente compacto. La medida ("medida de Dieudonné") que asigna la medida 1 a los conjuntos de Borel que contienen un subconjunto cerrado ilimitado y asigna 0 a otros conjuntos de Borel es una medida de probabilidad de Borel cuyo soporte está vacío.
Una medida no trivial cuyo apoyo tiene medida cero.
En un espacio compacto de Hausdorff, el soporte de una medida distinta de cero siempre es no vacío, pero puede tener la medida 0. Un ejemplo de esto se da agregando el primer Ω ordinal incontable al ejemplo anterior: el soporte de la medida es el punto único Ω, que tiene medida 0.
Medidas firmadas y complejas
Suponga que μ : Σ → [−∞, + ∞] es una medida con signo . Utilice el teorema de descomposición de Hahn para escribir
donde μ ± son ambas medidas no negativas. Entonces el soporte de μ se define como
De manera similar, si μ : Σ → C es una medida compleja , el soporte de μ se define como la unión de los soportes de sus partes real e imaginaria.
Referencias
- ^ Métodos matemáticos en mecánica cuántica con aplicaciones a operadores de Schrödinger
- Ambrosio, L., Gigli, N. y Savaré, G. (2005). Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilea. ISBN 3-7643-2428-7.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. pag. xii + 276. ISBN 0-8218-3889-X. SEÑOR2169627 (Consulte el capítulo 2, sección 2.)
- Teschl, Gerald (2009). Métodos matemáticos en Mecánica Cuántica con aplicaciones a Operadores de Schrödinger . AMS.(Ver capítulo 3, sección 2)