Fundamentos de las matemáticas es el estudio de las bases filosóficas y lógicas [1] y/o algorítmicas de las matemáticas o, en un sentido más amplio, la investigación matemática de lo que subyace a las teorías filosóficas relativas a la naturaleza de las matemáticas. [2] En este último sentido, la distinción entre fundamentos de las matemáticas y filosofía de las matemáticas resulta bastante vaga. Los fundamentos de las matemáticas pueden concebirse como el estudio de los conceptos matemáticos básicos (conjunto, función, figura geométrica, número, etc.) y cómo forman jerarquías de estructuras y conceptos más complejos, especialmente las estructuras fundamentalmente importantes que forman ellenguaje de las matemáticas (fórmulas, teorías y sus modelos que dan sentido a las fórmulas, definiciones, demostraciones, algoritmos, etc.) también llamados conceptos metamatemáticos , con miras a los aspectos filosóficos ya la unidad de las matemáticas. La búsqueda de los fundamentos de las matemáticas es una cuestión central de la filosofía de las matemáticas; la naturaleza abstracta de los objetos matemáticos presenta desafíos filosóficos especiales.
Los fundamentos de las matemáticas como un todo no pretenden contener los fundamentos de cada tema matemático. Generalmente, la fundamentación de un campo de estudio se refiere a un análisis más o menos sistemático de sus conceptos más básicos o fundamentales, su unidad conceptual y su ordenamiento natural o jerarquía de conceptos, que puede ayudar a conectarlo con el resto de la humanidad. conocimiento. El desarrollo, el surgimiento y la clarificación de los fundamentos pueden llegar tarde en la historia de un campo y es posible que no todos los vean como su parte más interesante.
Las matemáticas siempre jugaron un papel especial en el pensamiento científico, sirviendo desde la antigüedad como modelo de verdad y rigor para la investigación racional, y dando herramientas o incluso fundamento para otras ciencias (especialmente la física). Muchos desarrollos de las matemáticas hacia abstracciones superiores en el siglo XIX trajeron nuevos desafíos y paradojas, urgiendo un examen más profundo y sistemático de la naturaleza y los criterios de la verdad matemática , así como una unificación de las diversas ramas de las matemáticas en un todo coherente.
La búsqueda sistemática de los fundamentos de las matemáticas comenzó a fines del siglo XIX y formó una nueva disciplina matemática llamada lógica matemática , que luego tuvo fuertes vínculos con la informática teórica . Pasó por una serie de crisis con resultados paradójicos, hasta que los descubrimientos se estabilizaron durante el siglo XX como un cuerpo amplio y coherente de conocimiento matemático con varios aspectos o componentes ( teoría de conjuntos, teoría de modelos, teoría de la demostración, etc.), cuyas propiedades detalladas y posibles variantes siguen siendo un campo de investigación activo. Su alto nivel de sofisticación técnica inspiró a muchos filósofos a conjeturar que puede servir como modelo o patrón para los fundamentos de otras ciencias.
Si bien la práctica de las matemáticas se había desarrollado previamente en otras civilizaciones, en la obra de los antiguos griegos se hizo evidente un especial interés por sus aspectos teóricos y fundamentales.
Los primeros filósofos griegos discutían sobre qué era más básico, la aritmética o la geometría.Zenón de Elea (490 – c. 430 a. C.) produjo cuatro paradojas que parecen mostrar la imposibilidad del cambio. La escuela pitagórica de matemáticas insistió originalmente en que solo existen los números naturales y racionales. El descubrimiento de la irracionalidad de √ 2 , la relación entre la diagonal de un cuadrado y su lado (alrededor del siglo V a. C.), fue un golpe para ellos que aceptaron de mala gana. La discrepancia entre racionales y reales fue finalmente resuelta por Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.), alumno de Platón ., quien redujo la comparación de dos razones irracionales a comparaciones de múltiplos de las magnitudes involucradas. Su método anticipó el del corte de Dedekind en la definición moderna de números reales de Richard Dedekind (1831-1916). [3]