Cuatro cuatros

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayuda a mejorar este artículo mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado. Encuentre fuentes:  "Four fours"  -  noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( julio de 2019 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Cuatro cuatros es un acertijo matemático . El objetivo de cuatro cuatros es encontrar la expresión matemática más simple para cada número entero desde 0 hasta un máximo, usando solo símbolos matemáticos comunes y el dígito cuatro (no se permite ningún otro dígito). La mayoría de las versiones de cuatro cuatros requieren que cada expresión tenga exactamente cuatro cuatros, pero algunas variaciones requieren que cada expresión tenga el número mínimo de cuatro. Este juego requiere habilidad y razonamiento matemático.

La primera aparición impresa del problema específico de cuatro cuatros se encuentra en Knowledge: An Illustrated Magazine of Science en 1881. ^[1] En el popular libro de texto de 1734 de Thomas Dilworth, The Schoolmaster's Assistant , Siendo un compendio de aritmética tanto práctica como teórica . ^[2]

WW Rouse Ball lo describió en la sexta edición (1914) de sus Ensayos y Recreaciones Matemáticas . En este libro se describe como una "recreación tradicional". ^[3]

Normas

Hay muchas variaciones de cuatro cuatros; su principal diferencia es qué símbolos matemáticos están permitidos. Básicamente, todas las variaciones permiten al menos la suma ("+"), la resta ("-"), la multiplicación ("×"), la división ("÷") y los paréntesis , así como la concatenación (por ejemplo, se permite "44") . La mayoría también permiten la operación factorial ("!"), Exponenciación (por ejemplo, "44 ⁴ "), el punto decimal (".") Y la raíz cuadrada ("√"). Otras operaciones permitidas por algunas variaciones incluyen la función recíproca ("1 / x"),subfactorial("!" antes del número:! 4 es igual a 9), overline (un dígito repetido infinitamente), una raíz arbitraria, la función cuadrada ("sqr"), la función cúbica ("cube"), la raíz cúbica , la gamma función (Γ (), donde Γ ( x ) = ( x - 1)!), y porcentaje ("%"). Por lo tanto

${\displaystyle 4\%=0.04}$

${\displaystyle sqr(4)=16}$

${\displaystyle cube(4)=64}$

${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$

${\displaystyle 4!=24}$

${\displaystyle \Gamma (4)=6}$

${\displaystyle !4=9}$

${\displaystyle 4'={\frac {1}{4}}=0.25}$

${\displaystyle .4=0.4={\frac {4}{10}}={\frac {2}{5}}}$

${\displaystyle 4.4=4{\frac {2}{5}}}$

${\displaystyle .{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}}$

etc.

Un uso común de la línea superior en este problema es para este valor:

${\displaystyle .{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}}$

Normalmente, los operadores " log " o la función sucesora no están permitidos, ya que hay una manera de crear trivialmente cualquier número usándolos. Esto funciona al notar 3 cosas:

1) puede extraer raíces cuadradas repetidamente sin usar ningún 4 adicional

2) una raíz cuadrada también se puede escribir como exponente (^ (1/2))

3) los exponentes tienen logaritmos como su inverso.

${\displaystyle \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}=4^{(1/2)^{n}}}$

Escribiendo raíz cuadrada repetida de esta forma podemos aislar n, ¡que es el número de raíces cuadradas !:

${\displaystyle 4^{(1/2)^{n}}}$

podemos aislar ambos exponentes usando log base 4

${\displaystyle \log _{4}4^{(1/2)^{n}}}$

podemos pensar en esta base logarítmica 4 como la pregunta: "¿4 elevado a qué potencia me da 4 elevado a la mitad de la potencia n?"

${\displaystyle 4^{x}=4^{(1/2)^{n}}}$

así que ahora nos quedamos con:

${\displaystyle (1/2)^{n}}$

y ahora podemos hacer lo mismo para aislar el exponente, n:

${\displaystyle n=\log _{(1/2)}(1/2)^{n}}$

entonces, poniéndolo todo junto:

${\displaystyle n=\log _{(1/2)}\log _{4}4^{(1/2)^{n}}}$

Ahora, podemos reescribir la base (1/2) con solo 4s y el exponente (1/2) de nuevo a una raíz cuadrada:

${\displaystyle n=\log _{{\sqrt {4}}/4}\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}}$

¡Hemos usado cuatro cuatros y ahora el número de raíces cuadradas que sumamos es igual al número que queremos!

Paul Bourke le da crédito a Ben Rudiak-Gould con una descripción diferente de cómo se pueden resolver cuatro cuatros usando logaritmos naturales (ln (n)) para representar cualquier número entero positivo n como:

${\displaystyle n=-{\sqrt {4}}{\frac {\ln \left[\left(\ln \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}\right)/\ln 4\right]}{\ln {4}}}}$

Las variantes adicionales (por lo general ya no se llaman "cuatro cuatro") reemplazan el conjunto de dígitos ("4, 4, 4, 4") con algún otro conjunto de dígitos, digamos del año de nacimiento de alguien. Por ejemplo, una variante que use "1975" requeriría que cada expresión use un 1, un 9, un 7 y un 5.

Soluciones

Aquí hay un conjunto de cuatro soluciones de cuatro para los números del 0 al 32, usando reglas típicas. Aquí se enumeran algunas soluciones alternativas, aunque en realidad hay muchas más soluciones correctas. Las entradas en azul son las que utilizan cuatro números enteros 4 (en lugar de cuatro dígitos 4) y las operaciones aritméticas básicas . Los números sin entradas azules no tienen solución bajo estas limitaciones. Además, las soluciones que repiten operadores están marcadas en cursiva.

0 =  4 ÷ 4 × 4 - 4  = 44 - 44 1 =  4 ÷ 4 + 4-4 = 44 ÷ 44 2 =  4 - (4 + 4) ÷ 4  = (44 + 4) ÷ 4! 3 =  (4 × 4-4) ÷ 4  =  (4 + 4 + 4) ÷ 4 4 =  4 + 4 × ( 4-4 ) = −44 + 4! + 4! 5 =  (4 × 4 + 4) ÷ 4  = (44 - 4!) ÷ 4 6 =  (4 + 4) ÷ 4 + 4  = 4.4 + 4 × .4 7 =  4 + 4-4 ÷ 4  = 44 ÷ 4-4 8 =  4 ÷ 4 × 4 + 4  = 4.4 −.4 + 4 9 =  4 ÷ 4 + 4 + 4  = 44 ÷ 4 −√4
10 = (4 + 4 + 4) −√4 = (44 - 4) ÷ 4
11 = (4! × √4 - 4) ÷ 4 = √4 × (4! −√4) ÷ 4
12 =  4 × (4-4 ÷ 4)  = (44 + 4) ÷ 4
13 = (4! × √4 + 4) ÷ 4 = (4 −.4) ÷ .4 + 4
14 = 4 × 4-4 ÷ √4 = 4 × (√4 + √4) −√4
15 =  4 × 4 - 4 ÷ 4  = 44 ÷ 4 + 4
16 =  4 × 4 + 4 - 4  = (44 - 4) × .4
17 =  4 × 4 + 4 ÷ 4  = (44 + 4!) ÷ 4
18 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷ √4) - 4
19 = 4! - (4 + 4 ÷ 4) = (4 + 4 −.4) ÷ .4
20 =  4 × (4 ÷ 4 + 4)  = (44 - 4) ÷ √4
21 = 4! - 4 + 4 ÷ 4 = (44 −√4) ÷ √4
22 = 4! ÷ 4 + 4 × 4 = 44 ÷ (4 −√4)
23 = 4! + 4 ÷ 4 −√4 = (44 + √4) ÷ √4
24 =  4 × 4 + 4 + 4  = (44 + 4) ÷ √4
25 = 4! - 4 ÷ 4 + √4 = (4 + 4 + √4) ÷ .4
26 = 4! + √4 + 4-4
27 = 4! + √4 + (4 ÷ 4)
28 =  (4 + 4) × 4 - 4  = 4! + 4 + 4 - 4
29 = 4! + 4 + (4 ÷ 4)
30 = 4! + 4 + 4 -√4
31 = 4! + (4! + 4) ÷ 4
32 =  4 × 4 + 4 × 4

También hay muchas otras formas de encontrar la respuesta para todos estos.

Tenga en cuenta que los números con valores menores que uno no suelen escribirse con un cero a la izquierda. Por ejemplo, "0.4" generalmente se escribe como ".4". Esto se debe a que "0" es un dígito, y en este rompecabezas solo se puede usar el dígito "4".

Un número dado generalmente tendrá algunas soluciones posibles; cualquier solución que cumpla con las reglas es aceptable. Algunas variaciones prefieren el número "menor" de operaciones, o prefieren unas operaciones a otras. Otros simplemente prefieren soluciones "interesantes", es decir, una forma sorprendente de alcanzar la meta.

Ciertos números, como 113, son particularmente difíciles de resolver bajo reglas típicas. Para 113, sugiere Wheeler . ^[4] Una solución no estándar es , donde 4 'es el inverso multiplicativo de 4. (es decir ) Otra posible solución es , donde y representan los multifactoriales 10 y 127 respectivamente, y técnicamente deberían indicarse con tantos signos de exclamación para adherirse a las reglas del problema.${\displaystyle \Gamma (\Gamma (4))-{\frac {4!+4}{4}}}$${\displaystyle 4(4!+4+4')}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$${\displaystyle {\frac {((4!)!_{10})!_{127}}{(4!)!_{10}}}}$${\displaystyle !_{10}}$${\displaystyle !_{127}}$

El uso de porcentaje ("%") admite soluciones para una proporción mucho mayor de números; por ejemplo, 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.

El número 157 se puede resolver usando la función gamma , una de las posibles soluciones es .${\displaystyle {\frac {\Gamma (4)!+4}{4}}-4!}$

Algoritmos del problema

Este problema y sus generalizaciones (como el problema de los cinco cinco y el de los seis seises, que se muestran a continuación) pueden resolverse mediante un algoritmo simple. Los ingredientes básicos son tablas hash que asignan racionales a cadenas. En estas tablas, las claves son los números representados por alguna combinación admisible de operadores y el dígito elegido d , por ejemplo, cuatro, y los valores son cadenas que contienen la fórmula real. Hay una tabla para cada número n de apariciones de d . Por ejemplo, cuando d = 4 , la tabla hash de dos apariciones de d contendría el par clave-valor 8 y 4 + 4 , y la de tres apariciones, el par clave-valor2 y (4 + 4) / 4 (cadenas en negrita).

Luego, la tarea se reduce a calcular de forma recursiva estas tablas hash para aumentar n , comenzando desde n = 1 y continuando hasta, por ejemplo, n = 4. Las tablas para n = 1 y n = 2 son especiales, porque contienen entradas primitivas que no son la combinación de otras fórmulas más pequeñas y, por lo tanto, deben inicializarse correctamente, así (para n = 1 )

 T [4]: ​​= "4"; T [4/10]: = ".4"; T [4/9]: = ".4 ...";

y

 T [44]: = "44" ;.

(para n = 2 ). Ahora hay dos formas en las que pueden surgir nuevas entradas, ya sea como una combinación de las existentes a través de un operador binario, o aplicando los operadores factorial o de raíz cuadrada (que no usa instancias adicionales de d ). El primer caso se trata iterando sobre todos los pares de subexpresiones que utilizan un total de n instancias de d . Por ejemplo, cuando n = 4 , verificaríamos los pares (a, b) con a que contiene una instancia de d y b tres, y con a que contiene dos instancias de d y b dos también. Entonces entraríamosa + b, ab, ba, a * b, a / b, b / a) en la tabla hash, incluido el paréntesis, para n = 4 . Aquí los conjuntos A y B que contienen un y b se calculan de forma recursiva, con n = 1 y n = 2 es el caso base. La memorización se utiliza para garantizar que cada tabla hash solo se calcule una vez.

El segundo caso (factoriales y raíces) se trata con la ayuda de una función auxiliar, que se invoca cada vez que se registra un valor v . Esta función calcula factoriales anidados y raíces de v hasta una profundidad máxima, restringida a racionales.

La última fase del algoritmo consiste en iterar sobre las claves de la tabla para el valor deseado de ny extraer y ordenar aquellas claves que sean enteras. Este algoritmo se utilizó para calcular los ejemplos de cinco cinco y seis seis que se muestran a continuación. La fórmula más compacta (en el sentido del número de caracteres en el valor correspondiente) se eligió cada vez que se producía una clave más de una vez.

Extracto de la solución al problema de los cinco cinco

139 = (((5+ (5/5))! / 5) -5)
140 = (.5 * (5+ (5 * 55)))
141 = ((5)! + ((5+ (5 + .5)) /. 5))
142 = ((5)! + ((55 / .5) / 5))
143 = ((((5+ (5/5)))! - 5) / 5)
144 = ((((55/5) -5))! / 5)
145 = ((5 * (5+ (5 * 5))) - 5)
146 = ((5)! + ((5/5) + (5 * 5)))
147 = ((5)! + ((. 5 * 55) -. 5))
148 = ((5)! + (. 5 + (. 5 * 55)))
149 = (5 + (((5+ (5/5)))! + 5))

Extracto de la solución al problema de los seis seises

En la siguiente tabla, la notación .6 ... representa el valor 6/9 o 2/3 ( decimal recurrente 6).

241 = ((.6 + ((6 + 6) * (6 + 6))) /. 6)
242 = ((6 * (6+ (6 * 6))) - (6 / .6))
243 = (6 + ((6 * (. 6 * 66)) -. 6))
244 = (.6 ... * (6+ (6 * (66-6))))
245 = ((((6)! + ((6)! + 66)) / 6) -6)
246 = (66+ (6 * ((6 * 6) -6)))
247 = (66 + ((6 + ((6)! /. 6 ...)) / 6))
248 = (6 * (6+ (6 * (6 - (. 6 ... / 6)))))
249 = (.6+ (6 * (6 + ((6 * 6) -. 6))))
250 = (((6 * (6 * 6)) - 66) /. 6)
251 = ((6 * (6+ (6 * 6))) - (6/6))

Ver también

• Krypto (juego)

Referencias

1. Pat Ballew, Antes de que hubiera Four-Fours, había cuatro tres y varios más , Pat'sBlog , 30 de diciembre de 2018.
2. Bellos, Alex (2016). ¿Puedes resolver mis problemas?: Un libro de casos de acertijos ingeniosos, desconcertantes y totalmente satisfactorios . Faber y Faber. pag. 104. ISBN 978-1615193882. ... Contiene el siguiente rompecabezas. Jack le dice a su hermano Harry: “Puedo colocar cuatro de tres de tal manera que hagan solo 34; ¿Puedes hacerlo tú también?
3. Bola, Walter William Rouse. Recreaciones y ensayos matemáticos, página 14 (6ª ed.).
4. "La clave de respuestas definitiva cuatro cuatro (por David A. Wheeler)" . Dwheeler.com .

enlaces externos

• Bourke, Paul. "Problema de los Cuatro Cuatro" .
• Carver, Ruth. "Puzzle Cuatro Cuatro" . en MathForum.org
• "4444 (Cuatro cuatro)" . Galería Eyegate.
• four4s en GitHub
• "Implementación en línea del juego Four Fours" .