La prueba de sensibilidad de amplitud de Fourier (FAST) es un método de análisis de sensibilidad global basado en la varianza . El valor de sensibilidad se define en función de las variaciones condicionales que indican los efectos individuales o conjuntos de las entradas inciertas en la salida.
RÁPIDO primero representa las varianzas condicionales a través de coeficientes de la expansión de la serie de Fourier múltiple de la función de salida. Entonces el teorema ergódicose aplica para transformar la integral multidimensional en una integral unidimensional en la evaluación de los coeficientes de Fourier. Se requiere un conjunto de frecuencias inconmensurables para realizar la transformación y la mayoría de las frecuencias son irracionales. Para facilitar el cálculo, se selecciona un conjunto de frecuencias enteras en lugar de las frecuencias irracionales. Las frecuencias enteras no son estrictamente inconmensurables, lo que resulta en un error entre la integral multidimensional y la integral unidimensional transformada. Sin embargo, las frecuencias enteras pueden seleccionarse para que sean inconmensurables con cualquier orden, de modo que el error pueda controlarse cumpliendo cualquier requisito de precisión en teoría. Usando frecuencias enteras en la transformada integral, la función resultante en la integral unidimensional es periódica y la integral solo necesita evaluarse en un solo período. A continuación, dado que la función integral continua se puede recuperar de un conjunto de puntos de muestreo finitos si elSi se cumple el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , la integral unidimensional se evalúa a partir de la suma de los valores de la función en los puntos de muestreo generados.
FAST es más eficiente para calcular sensibilidades que otros métodos de análisis de sensibilidad global basados en la varianza a través de la integración de Monte Carlo . Sin embargo, el cálculo de FAST suele limitarse a las sensibilidades que se refieren al "efecto principal" o al "efecto total".
Historia
El método FAST se originó en el estudio de sistemas de reacción química acoplados en 1973 [1] [2] y el análisis detallado del error computacional se presentó en 1975. [3] Sólo se calcularon los índices de sensibilidad de primer orden referidos al "efecto principal" en el método original. En 1982 se publicó un programa informático FORTRAN capaz de analizar sistemas de ecuaciones algebraicas o diferenciales. [4] En la década de 1990, la relación entre los índices de sensibilidad FAST y los de Sobol calculados a partir de la simulación de Monte-Carlo se reveló en el marco general de descomposición similar a ANOVA. [5] y se desarrolló un método FAST ampliado capaz de calcular índices de sensibilidad referidos al "efecto total". [6]
Fundación
Sensibilidad basada en la varianza
Los índices de sensibilidad de un método basado en la varianza se calculan mediante una descomposición similar a ANOVA de la función para el análisis. Suponga que la función es dónde . La descomposición similar a ANOVA es
siempre que es una constante y la integral de cada término en las sumas es cero, es decir
La varianza condicional que caracteriza la contribución de cada término a la varianza total de es
La varianza total es la suma de todas las varianzas condicionales
El índice de sensibilidad se define como la varianza condicional normalizada como
especialmente la sensibilidad de primer orden
que indica el efecto principal de la entrada .
Varias series de Fourier
Una forma de calcular la descomposición similar a ANOVA se basa en múltiples series de Fourier. La función en la unidad, el hipercubo se puede extender a una función periódica múltiple y la expansión de la serie múltiple de Fourier es
donde el coeficiente de Fourier es
La descomposición similar a ANOVA es
La varianza condicional de primer orden es
dónde y son la parte real e imaginaria de respectivamente
Teorema ergódico
Se debe evaluar una integral multidimensional para calcular los coeficientes de Fourier. Una forma de evaluar esta integral multidimensional es transformarla en una integral unidimensional expresando cada entrada como una función de una nueva variable independiente., como sigue
dónde es un conjunto de frecuencias inconmensurables, es decir
para un conjunto entero de si y solo si para cada . Entonces los coeficientes de Fourier se pueden calcular mediante una integral unidimensional de acuerdo con el teorema ergódico [7]
Implementación
Frecuencias enteras
A lo sumo una de las frecuencias inconmensurables puede ser racional con todos los demás irracionales. Dado que el valor numérico de un número irracional no se puede almacenar exactamente en una computadora, se requiere una aproximación de las frecuencias inconmensurables por todos los números racionales en la implementación. Sin perder ninguna generalidad, las frecuencias se pueden establecer como números enteros en lugar de números racionales. Un conjunto de enteros es aproximadamente inconmensurable con el orden de Si
por
dónde es un número entero. La condición inconmensurable exacta es un caso extremo cuando.
Usando las frecuencias enteras, la función en la integral unidimensional transformada es periódica, por lo que solo la integración durante un período de se requiere. Los coeficientes de Fourier se pueden calcular aproximadamente como
La aproximación de las frecuencias inconmensurables para un finito resulta en un error de discrepancia entre los verdaderos coeficientes de Fourier , y sus estimaciones , . Cuanto mayor sea el pedidoes menor el error, pero se requieren más esfuerzos computacionales para calcular las estimaciones en el siguiente procedimiento. En la prácticase establece con frecuencia en 4 y se encuentra disponible una tabla de conjuntos de frecuencias resultantes que tienen hasta 50 frecuencias. (McRae et al., 1982)
Curva de búsqueda
La transformación , define una curva de búsqueda en el espacio de entrada. Si las frecuencias,, son inconmensurables, la curva de búsqueda puede pasar por cada punto del espacio de entrada como varía de 0 a por lo que la integral multidimensional sobre el espacio de entrada se puede transformar con precisión en una integral unidimensional a lo largo de la curva de búsqueda. Sin embargo, si las frecuencias son enteros aproximadamente inconmensurables, la curva de búsqueda no puede atravesar todos los puntos del espacio de entrada. De hecho, la búsqueda se repite ya que la función de transformación es periódica, con un período de. La integral unidimensional se puede evaluar durante un solo período en lugar del intervalo infinito para frecuencias inconmensurables; Sin embargo, surge un error de cálculo debido a la aproximación de la inconmensurabilidad.
La curva de búsqueda en el caso de ω 1 = π y ω 2 = 7. Dado que las frecuencias son inconmensurables, la curva de búsqueda no se repite y puede pasar por todos los puntos del cuadrado.
La curva de búsqueda en el caso de ω 1 = 3 y ω 2 = 7. Dado que las frecuencias son números enteros, que son aproximadamente inconmensurables, la curva de búsqueda se repite y no puede pasar por todos los puntos del cuadrado.
La curva de búsqueda en el caso de ω 1 = 11 y ω 2 = 7. Dado que las frecuencias son números enteros, que son aproximadamente inconmensurables, la curva de búsqueda se repite y no puede pasar por todos los puntos del cuadrado.
Muestreo
El Fourier aproximado se puede expresar además como
y
Las integrales distintas de cero se pueden calcular a partir de puntos de muestreo
donde el punto de muestreo uniforme en es
El número total de puntos de muestreo es que debe satisfacer el criterio de muestreo de Nyquist, es decir
dónde es la frecuencia más grande en y es el orden máximo de los coeficientes de Fourier calculados.
Suma parcial
Después de calcular los coeficientes de Fourier estimados, la varianza condicional de primer orden se puede aproximar mediante
donde solo se calcula la suma parcial de los dos primeros términos y para determinar el número de puntos de muestreo. El uso de la suma parcial generalmente puede devolver una aproximación suficientemente buena de la suma total, ya que los términos correspondientes a la frecuencia fundamental y las frecuencias de orden bajo generalmente contribuyen más a la suma total. Además, el coeficiente de Fourier en la suma es solo una estimación del valor real y agregar más términos de orden superior no ayudará a mejorar la precisión computacional de manera significativa. Dado que las frecuencias enteras no son exactamente inconmensurables, hay dos enteros y tal que Puede producirse interferencia entre las dos frecuencias si se incluyen términos de orden superior en la suma.
De manera similar, la varianza total de se puede calcular como
dónde denota el coeficiente de Fourier estimado de la función de dentro del soporte y es el coeficiente de Fourier al cuadrado de la función . Finalmente, la sensibilidad referida al efecto principal de una entrada se puede calcular dividiendo la varianza condicional por la varianza total.
Referencias
- ^ Cukier, RI, CM Fortuin, KE Shuler, AG Petschek y JH Schaibly (1973). Estudio de la sensibilidad de los sistemas de reacción acoplados a las incertidumbres en los coeficientes de velocidad. Yo Teoría. Revista de física química , 59 , 3873–3878.
- ^ Schably, JH y KE Shuler (1973). Estudio de la sensibilidad de los sistemas de reacción acoplados a las incertidumbres en los coeficientes de velocidad. II Aplicaciones. Revista de física química , 59 , 3879–3888.
- ^ Cukier, RI, JH Schaibly y KE Shuler (1975). Estudio de la sensibilidad de los sistemas de reacción acoplados a las incertidumbres en los coeficientes de velocidad. III. Análisis de las aproximaciones. Revista de física química , 63 , 1140-1149.
- ^ McRae, GJ, JW Tilden y JH Seinfeld (1982). Análisis de sensibilidad global: una implementación computacional de la prueba de sensibilidad de amplitud de Fourier (FAST). Computadoras e ingeniería química , 6 , 15-25.
- ^ Archer GEB, A. Saltelli e IM Sobol (1997). Medidas de sensibilidad, técnicas tipo ANOVA y el uso de bootstrap. Journal of Statistical Computation and Simulation , 58 , 99-120.
- ^ Saltelli A., S. Tarantola y KPS Chan (1999). Un método cuantitativo independiente del modelo para el análisis de sensibilidad global de los resultados del modelo. Technometrics , 41 , 39–56.
- ^ Weyl, H. (1938). Movimiento medio. American Journal of Mathematics , 60 , 889–896.