Teorema de la inversión de Fourier

En matemáticas , el teorema de la inversión de Fourier dice que para muchos tipos de funciones es posible recuperar una función de su transformada de Fourier . Intuitivamente, puede verse como la afirmación de que si conocemos toda la información de frecuencia y fase sobre una onda, entonces podemos reconstruir la onda original con precisión.

El teorema dice que si tenemos una función que satisface ciertas condiciones, y usamos la convención para la transformada de Fourier que ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$

Otra forma de enunciar el teorema es que si es el operador de inversión, es decir , entonces ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle (Rf) (x): = f (-x)}$

El teorema es válido si ambos y su transformada de Fourier son absolutamente integrables (en el sentido de Lebesgue ) y son continuos en el punto . Sin embargo, incluso en condiciones más generales se mantienen las versiones del teorema de inversión de Fourier. En estos casos, las integrales anteriores pueden no converger en un sentido ordinario.${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$

En esta sección asumimos que es una función continua integrable. Utilice la convención para la transformada de Fourier que ${\ Displaystyle f}$

El enunciado más común del teorema de inversión de Fourier es establecer la transformada inversa como una integral. Para cualquier función integrable y todo listo${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

Algunos problemas, como ciertas ecuaciones diferenciales, se vuelven más fáciles de resolver cuando se aplica la transformada de Fourier. En ese caso, la solución al problema original se recupera mediante la transformada inversa de Fourier.