En matemáticas, una curva de Frey o una curva de Frey-Hellegouarch es la curva elíptica
asociado con una solución (hipotética) de la ecuación de Fermat
La curva lleva el nombre de Gerhard Frey .
Historia
A Yves Hellegouarch ( 1975 ) se le ocurrió la idea de asociar solucionesde la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. Si ℓ es un primo impar y un , b , y c son números enteros positivos tales que
entonces una curva de Frey correspondiente es una curva algebraica dada por la ecuación
o equivalente
Esta es una curva algebraica no singular de un género definido sobre Q , y su finalización proyectiva es una curva elíptica sobre Q .
Gerhard Frey ( 1982 ) llamó la atención sobre las propiedades inusuales de la misma curva que Hellegouarch, que pasó a llamarse curva de Frey. Esto proporcionó un puente entre Fermat y Taniyama al mostrar que un contraejemplo del último teorema de Fermat crearía una curva que no sería modular. La conjetura atrajo un interés considerable cuando Frey (1986) sugirió que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil implica el último teorema de Fermat. Sin embargo, su argumento no fue completo. En 1985, Jean-Pierre Serre propuso que una curva de Frey no podía ser modular y proporcionó una prueba parcial de esto. Esto mostró que una prueba del caso semiestable de la conjetura de Taniyama-Shimura implicaría el último teorema de Fermat. Serre no proporcionó una prueba completa y lo que faltaba se conoció como la conjetura épsilon o la conjetura ε. En el verano de 1986, Ribet (1990) probó la conjetura épsilon, demostrando así que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil implica el último teorema de Fermat.
Referencias
- Frey, Gerhard (1986), "Vínculos entre curvas elípticas estables y ciertas ecuaciones diofánticas", Annales Universitatis Saraviensis. Serie Mathematicae , 1 (1): iv + 40, ISSN 0933-8268 , MR 0853387
- Frey, Gerhard (1982), "Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven", J. reine angew. Matemáticas. , 331 : 185-191
- Hellegouarch, Yves (1975), "Points d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques" (PDF) , Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica , 26 (3): 253–263, ISSN 0065-1036 , MR 0379507
- Hellegouarch, Yves (2000), "Rectificatif à l'article de H. Darmon intitulé:" La Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est enfin démontré " " , Gazette des Mathématiciens , 83 , ISSN 0224-8999 , archivado desde el original en 2012-02-04 , consultado 2012-01-02
- Hellegouarch, Yves (2002), Invitación a las matemáticas de Fermat-Wiles , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-339251-0, Señor 1475927