En matemáticas , la proyectivización es un procedimiento que asocia con un espacio vectorial V no nulo un espacio proyectivo , Cuyos elementos son unidimensionales subespacios de V . De manera más general, cualquier subconjunto S de V cerrado bajo la multiplicación escalar define un subconjunto deformado por las líneas que figuran en S y se llama el projectivization de S .
Propiedades
- La proyectivización es un caso especial de la factorización por una acción grupal : el espacio proyectivoes el cociente del conjunto abierto V \ {0} de vectores distintos de cero por la acción del grupo multiplicativo del campo base por transformaciones escalares. La dimensión deen el sentido de la geometría algebraica es uno menos que la dimensión del espacio vectorial V .
- Projectivization es funtorial con respecto al inyectivos mapas lineales: si
- es un mapa lineal con un núcleo trivial, entonces f define un mapa algebraico de los espacios proyectivos correspondientes,
- En particular, el grupo lineal general GL ( V ) actúa sobre el espacio proyectivo por automorfismos .
Compleción proyectiva
Un procedimiento relacionado incrusta un espacio vectorial V sobre un campo K en el espacio proyectivode la misma dimensión. Para cada vector v de V , asocia la línea abarcado por el vector ( v , 1) de V ⊕ K .
Generalización
En geometría algebraica , hay un procedimiento que asocia una variedad proyectiva Proj S con un álgebra conmutativa graduada S (bajo algunas restricciones técnicas sobre S ). Si S es el álgebra de polinomios en un espacio vectorial V, entonces Proj S esEsta construcción de Proj da lugar a un functor contravariante de la categoría de anillos conmutativos graduados y mapas graduados sobreyectivos a la categoría de esquemas proyectivos .