En matemáticas, específicamente en la teoría de la representación , la fórmula de Frobenius , introducida por G. Frobenius , calcula los caracteres de representaciones irreductibles del grupo simétrico S n . Entre las otras aplicaciones, la fórmula se puede usar para derivar la fórmula de la longitud del gancho .
Declaración
Dejar ser el carácter de una representación irreductible del grupo simétrico correspondiente a una partición de n : y . Para cada particiónde n , dejadenotar la clase de conjugación en correspondiente a ella (cf. el ejemplo siguiente), y deje denotar el número de veces que j aparece en (entonces ). Entonces la fórmula de Frobenius establece que el valor constante de en
es el coeficiente del monomio en el polinomio homogéneo
dónde es el -ésima suma de potencias .
Ejemplo : tomar y . Si, que corresponde a la clase del elemento de identidad, entonces es el coeficiente de en
que es 2. Del mismo modo, si (la clase de 3 ciclos multiplicada por 1 ciclo), entonces , dada por
es −1.
Análogos
En ( Ram 1991 ) , Arun Ram da un q -análogo de la fórmula de Frobenius.
Ver también
Referencias
- A. Ram, fórmula A Frobenius para los caracteres de los álgebra de Hecke, Inventiones mathematicae , vol 106, nº 1, pp 461-488, 1991.
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edicion. Monografías matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x + 475 págs. ISBN 0-19-853489-2 SEÑOR1354144