En matemáticas y estadística , las sumas de potencias ocurren en varios contextos:
- Las sumas de cuadrados surgen en muchos contextos. Por ejemplo, en geometría , el teorema de Pitágoras implica la suma de dos cuadrados; en teoría de números , están el teorema de los tres cuadrados de Legendre y el teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi ; y en estadística , el análisis de varianza implica sumar los cuadrados de cantidades.
- La fórmula de Faulhaber expresacomo polinomio en n , o alternativamente en término de un polinomio de Bernoulli .
- El teorema del triángulo rectángulo de Fermat establece que no hay solución en enteros positivos para
- El último teorema de Fermat establece quees imposible en enteros positivos con k > 2.
- La ecuación de una superelipse es. La ardilla es el caso.
- Suma de potencias conjetura de Euler (refutada) se refiere a situaciones en las que la suma de n números enteros, cada una k ésimo de potencia de un número entero, igual a otro k ésimo de potencia.
- La conjetura de Fermat-Catalán pregunta si hay una infinidad de ejemplos en los que la suma de dos enteros coprimos, cada uno una potencia de un entero, con las potencias no necesariamente iguales, puede igualar a otro entero que sea una potencia, con los recíprocos de la tres potencias que suman menos de 1.
- La conjetura de Beal se refiere a la cuestión de si la suma de dos enteros coprimos, cada uno una potencia mayor que 2 de un entero, con potencias no necesariamente iguales, puede ser igual a otro entero que sea una potencia mayor que 2.
- La ecuación de Jacobi-Madden es en enteros.
- El problema de Prouhet-Tarry-Escott considera sumas de dos conjuntos de k- ésimas potencias de números enteros que son iguales para múltiples valores de k .
- Un número de taxi es el número entero más pequeño que se puede expresar como una suma de dos terceras potencias positivas de n formas distintas.
- La función zeta de Riemann es la suma de los recíprocos de los enteros positivos, cada uno elevado a la potencia s , donde s es un número complejo cuya parte real es mayor que 1.
- La conjetura de Lander, Parkin y Selfridge se refiere al valor mínimo de m + n en
- El problema de Waring pregunta si para cada número natural k existe un entero positivo asociado s tal que cada número natural sea la suma de, como máximo, sk -ésimas potencias de los números naturales.
- Los sucesivos poderes de la proporción áurea φ obedecen a la recurrencia de Fibonacci:
- Las identidades de Newton expresan la suma de las k- ésimas potencias de todas las raíces de un polinomio en términos de los coeficientes del polinomio.
- La suma de cubos de números en progresión aritmética es a veces otro cubo.
- El cúbico de Fermat , en el que la suma de tres cubos es igual a otro cubo, tiene una solución general.
- El polinomio simétrico de suma de potencia es un componente básico para polinomios simétricos.
- La suma de los recíprocos de todas las potencias perfectas, incluidos los duplicados (pero sin incluir 1) es igual a 1.
- La ecuación de Erdős-Moser , dónde y son números enteros positivos, se conjetura que no tienen más soluciones que 1 1 + 2 1 = 3 1 .
- Las sumas de tres cubos no pueden ser iguales a 4 o 5 módulo 9, pero se desconoce si todos los enteros restantes se pueden expresar de esta forma.
- Las sumas de potencias S m ( z , n ) = z m + ( z +1) m + ... + ( z + n −1) m están relacionadas con los polinomios de Bernoulli B m ( z ) por (∂ n - ∂ z ) S m ( z , n ) = B m ( z ) y (∂ 2? -∂ Z ) S 2 k 1 ( z , n ) = Ŝ ' k 1 ( Z ) donde Z = z ( z - 1), λ = S 1 ( z , n ), Ŝ k +1 ( Z ) ≡ S 2 k +1 (0, z ). [1]
- la suma de los términos en la serie geométrica es
Ver también
Referencias
- ^ Do Tan Si. "Las sumas de potencias, números de Bernoulli, polinomios de Bernoulli repensados" . Matemáticas aplicadas 10.03 (2019): 100-112 . Investigación científica.
- Reznick, Bruce y Rouse, J. "Sobre las sumas de dos cubos" , Int. J. Teoría de números, 7 (2011), 1863–1882, MR2854220.