El teorema de Fueter-Pólya , probado por primera vez por Rudolf Fueter y George Pólya , establece que las únicas funciones de emparejamiento cuadráticas son los polinomios de Cantor .
Introducción
En 1873, Georg Cantor demostró que el llamado polinomio de Cantor [1]
es un mapeo biyectivo de a . El polinomio dado al intercambiar las variables también es una función de emparejamiento.
Fueter estaba investigando si hay otros polinomios cuadráticos con esta propiedad y concluyó que este no es el caso asumiendo . Luego le escribió a Pólya, quien mostró que el teorema no requiere esta condición. [2]
Declaración
Si es un polinomio cuadrático real en dos variables cuya restricción a es una biyección de a entonces es
o
Prueba
La demostración original es sorprendentemente difícil, utilizando el teorema de Lindemann-Weierstrass para demostrar la trascendencia de para un número algebraico distinto de cero . [3] En 2002, MA Vsemirnov publicó una prueba elemental de este resultado. [4]
Conjetura de Fueter – Pólya
El teorema establece que el polinomio de Cantor es el único polinomio de par cuadrático de y . El polinomio de Cantor se puede generalizar en mayor grado como una biyección de ℕ k con ℕ para k > 2. La conjetura es que estos son los únicos polinomios emparejados.
Mayores dimensiones
La generalización del polinomio de Cantor en dimensiones superiores es la siguiente: [5]
La suma de estos coeficientes binomiales produce un polinomio de grado en variables. Es una pregunta abierta si todos los grados polinomio que es una biyección surge como una permutación de las variables del polinomio . [6]
Referencias
- ^ G. Cantor: Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre , J. Reine Angew. Math., Band 84 (1878), páginas 242–258
- ↑ Rudolf Fueter, Georg Pólya: Justificación Abzählung der Gitweenunkte , Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich 68 (1923), páginas 380–386
- ^ Craig Smoryński: teoría de números lógicos I , Springer-Verlag 1991, ISBN 3-540-52236-0 , capítulos I.4 y I.5: el teorema de Fueter-Pólya I / II
- ^ MA Vsemirnov, Dos demostraciones elementales del teorema de Fueter-Pólya sobre polinomios de apareamiento. San Petersburgo Math. J. 13 (2002), núm. 5, págs. 705–715. Corrección: ibid. 14 (2003), núm. 5, pág. 887.
- ^ P. Chowla: En algunos polinomios que representan cada número natural exactamente una vez , Norske Vid. Selsk. Para H. Trondheim (1961), volumen 34, páginas 8–9
- ^ Craig Smoryński: teoría de números lógicos I , Springer-Verlag 1991, ISBN 3-540-52236-0 , Capítulo I.4, Conjetura 4.3