En álgebra , una función cuadrática , un polinomio cuadrático , un polinomio de grado 2 , o simplemente un cuadrático , es una función polinomial con una o más variables en las que el término de mayor grado es de segundo grado.
Por ejemplo, una función cuadrática univariante (de una sola variable) tiene la forma [1]
en la variable única x . La gráfica de una función cuadrática univariante es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y , como se muestra a la derecha.
Si la función cuadrática se establece igual a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática . Las soluciones de la ecuación univariante se denominan raíces de la función univariante.
El caso de dos variables en términos de variables x e y tiene la forma
con al menos uno de a, b, c no igual a cero, y una ecuación que establece esta función igual a cero da lugar a una sección cónica (un círculo u otra elipse , una parábola o una hipérbola ).
Una función cuadrática en tres variables x , y y z contiene exclusivamente términos x 2 , y 2 , z 2 , xy , xz , yz , x , y , z , y una constante:
con al menos uno de los coeficientes a, b, c, d, e, o f de los términos de segundo grado siendo distinto de cero.
En general no puede haber un número arbitrariamente grande de variables, en cuyo caso la resultante superficie de ajuste de una función cuadrática a cero se denomina cuádrica , pero el término más alto grado debe ser de grado 2, tal como x 2 , xy , yz , etc.
Etimología
El adjetivo cuadrático proviene de la palabra latina quadrātum (" cuadrado "). Un término como x 2 se llama cuadrado en álgebra porque es el área de un cuadrado de lado x .
Terminología
Coeficientes
Los coeficientes de un polinomio a menudo se toman como números reales o complejos , pero de hecho, un polinomio puede definirse sobre cualquier anillo .
La licenciatura
Cuando se utiliza el término "polinomio cuadrático", los autores a veces se refieren a "tener un grado exactamente 2" y, a veces, "tener un grado como máximo 2". Si el grado es inferior a 2, esto puede denominarse " caso degenerado ". Por lo general, el contexto establecerá cuál de los dos se refiere.
A veces, la palabra "orden" se usa con el significado de "grado", por ejemplo, un polinomio de segundo orden.
Variables
Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variable x (el caso univariante), o múltiples variables como x , y , yz (el caso multivariante).
El caso de una variable
Cualquier polinomio cuadrático de una variable se puede escribir como
donde x es la variable, y un , b , y c representan los coeficientes . En álgebra elemental , tales polinomios a menudo surgen en forma de ecuación cuadrática. . Las soluciones de esta ecuación se denominan raíces del polinomio cuadrático y se pueden encontrar mediante factorización , completar el cuadrado , graficar , el método de Newton o mediante el uso de la fórmula cuadrática . Cada polinomio cuadrático tiene una función cuadrática asociada, cuya gráfica es una parábola .
Caso bivariado
Cualquier polinomio cuadrático con dos variables se puede escribir como
donde x y y son las variables y un , b , c , d , e , y f son los coeficientes. Tales polinomios son fundamentales para el estudio de las secciones cónicas , que se caracterizan por igualar la expresión de f ( x , y ) a cero. Del mismo modo, polinomios cuadráticos con tres o más variables corresponden a cuádricas superficies y hipersuperficies . En álgebra lineal , los polinomios cuadráticos se pueden generalizar a la noción de una forma cuadrática en un espacio vectorial .
Formas de una función cuadrática univariante
Una función cuadrática univariante se puede expresar en tres formatos: [2]
- se llama la forma estándar ,
- se llama forma factorizada , donde r 1 y r 2 son las raíces de la función cuadrática y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente.
- se llama la forma de vértice , donde h y k son los x y Y coordenadas del vértice, respectivamente.
El coeficiente a es el mismo valor en las tres formas. Para convertir la forma estándar de forma factorizada , sólo se necesita la fórmula cuadrática para determinar las dos raíces r 1 y r 2 . Para convertir la forma estándar a la forma de vértice , se necesita un proceso llamado completar el cuadrado . Para convertir la forma factorizada (o forma de vértice) a la forma estándar, es necesario multiplicar, expandir y / o distribuir los factores.
Gráfico de la función univariante
Independientemente del formato, la gráfica de una función cuadrática univariante es una parábola (como se muestra a la derecha). De manera equivalente, esta es la gráfica de la ecuación cuadrática bivariada.
- Si a > 0 , la parábola se abre hacia arriba.
- Si a <0 , la parábola se abre hacia abajo.
El coeficiente a controla el grado de curvatura del gráfico; una magnitud mayor de a le da al gráfico una apariencia más cerrada (curva pronunciada).
Los coeficientes b y un juntos controlar la ubicación del eje de simetría de la parábola (también las x coordenada del vértice y la h parámetro en la forma de vértice) que es al
El coeficiente c controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola donde intercepta el eje y .
Vértice
El vértice de una parábola es el lugar donde gira; de ahí que también se le llame el punto de inflexión . Si la función cuadrática está en forma de vértice, el vértice es ( h , k ) . Usando el método de completar el cuadrado, uno puede convertir la forma estándar
dentro
entonces el vértice, ( h , k ) , de la parábola en forma estándar es
Si la función cuadrática está en forma factorizada
el promedio de las dos raíces, es decir,
es la coordenada x del vértice y, por tanto, el vértice ( h , k ) es
El vértice también es el punto máximo si a <0 , o el punto mínimo si a > 0 .
La linea vertical
que pasa por el vértice es también el eje de simetría de la parábola.
Puntos máximos y mínimos
Usando cálculo , el punto del vértice, siendo un máximo o mínimo de la función, se puede obtener encontrando las raíces de la derivada :
x es una raíz de f '( x ) si f ' ( x ) = 0 resulta en
con el valor de función correspondiente
así que de nuevo las coordenadas del punto del vértice, ( h , k ) , se pueden expresar como
Raíces de la función univariante
Raíces exactas
Las raíces (o ceros ), r 1 y r 2 , de la función cuadrática univariante
son los valores de x para los cuales f ( x ) = 0 .
Cuando los coeficientes de un , b , y c , son reales o complejos , las raíces son
Límite superior de la magnitud de las raíces.
El módulo de las raíces de una cuadrática no puede ser mayor que dónde es la proporción áurea [4] [ importancia? ]
La raíz cuadrada de una función cuadrática univariante
La raíz cuadrada de una función cuadrática univariante da lugar a una de las cuatro secciones cónicas, casi siempre a una elipse o a una hipérbola .
Si entonces la ecuación describe una hipérbola, como puede verse al cuadrar ambos lados. Las direcciones de los ejes de la hipérbola están determinadas por la ordenada del punto mínimo de la parábola correspondiente. Si la ordenada es negativa, entonces el eje mayor de la hipérbola (a través de sus vértices) es horizontal, mientras que si la ordenada es positiva, entonces el eje mayor de la hipérbola es vertical.
Si entonces la ecuación describe un círculo u otra elipse o nada en absoluto. Si la ordenada del punto máximo de la parábola correspondientees positiva, entonces su raíz cuadrada describe una elipse, pero si la ordenada es negativa, entonces describe un lugar geométrico de puntos vacío .
Iteración
Para iterar una función , se aplica la función repetidamente, utilizando la salida de una iteración como entrada a la siguiente.
No siempre se puede deducir la forma analítica de , Que significa que el n º iteración de. (El superíndice se puede extender a números negativos, refiriéndose a la iteración de la inversa desi existe lo inverso.) Pero hay algunos casos analíticamente tratables .
Por ejemplo, para la ecuación iterativa
uno tiene
dónde
- y
Entonces, por inducción,
se puede obtener, donde se puede calcular fácilmente como
Finalmente, tenemos
como la solución.
Consulte Conjugación topológica para obtener más detalles sobre la relación entre f y g . Y vea Polinomio cuadrático complejo para el comportamiento caótico en la iteración general.
El mapa logístico
con parámetro 2 < r <4 se puede resolver en determinados casos, uno de los cuales es caótico y otro no. En el caso caótico r = 4 la solución es
donde el parámetro de condición inicial es dado por . Por racional, después de un número finito de iteraciones mapas en una secuencia periódica. Pero casi todos son irracionales y, por irracionales , nunca se repite: no es periódico y muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales , por lo que se dice que es caótico.
La solución del mapa logístico cuando r = 2 es
por . Desde por cualquier valor de que no sea el punto fijo inestable 0, el término va a 0 cuando n va al infinito, entonces va al punto fijo estable
Función cuadrática bivariada (dos variables)
Una función cuadrática bivariada es un polinomio de segundo grado de la forma
donde A, B, C, D y E son coeficientes fijos y F es el término constante. Tal función describe una superficie cuadrática . Configuración igual a cero describe la intersección de la superficie con el plano , que es un lugar geométrico de puntos equivalente a una sección cónica .
Mínimo máximo
Si la función no tiene máximo ni mínimo; su gráfico forma un paraboloide hiperbólico .
Si la función tiene un mínimo si A > 0 y un máximo si A <0; su gráfico forma un paraboloide elíptico. En este caso, el mínimo o máximo ocurre en dónde:
Si y la función no tiene máximo ni mínimo; su gráfica forma un cilindro parabólico .
Si y la función alcanza el máximo / mínimo en una línea: un mínimo si A > 0 y un máximo si A <0; su gráfica forma un cilindro parabólico.
Ver también
- Forma cuadrática
- Ecuación cuadrática
- Representación matricial de secciones cónicas
- Quadric
- Puntos periódicos de asignaciones cuadráticas complejas
- Lista de funciones matemáticas
Referencias
- ^ "Ecuación cuadrática de Wolfram MathWorld" . Consultado el 6 de enero de 2013 .
- ^ Hughes-Hallett, Deborah ; Connally, Eric; McCallum, William G. (2007), Álgebra universitaria , John Wiley & Sons Inc., pág. 205, ISBN 9780471271758, Resultado de la búsqueda
- ^ "Raíces complejas visibles - hechos matemáticos divertidos" . Consultado el 1 de octubre de 2016 .
- ^ Lord, Nick, "Límites de oro para las raíces de ecuaciones cuadráticas", Mathematical Gazette 91, noviembre de 2007, 549.
- Álgebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
- Álgebra 2, sajona, ISBN 0-939798-62-X
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Cuadrático" . MathWorld .