En matemáticas , el teorema de Fuglede es un resultado en la teoría del operador , llamado así por Bent Fuglede .
El resultado
Teorema (Fuglede) Sean T y N operadores acotados en un espacio de Hilbert complejo donde N es normal . Si TN = NT , a continuación, TN * = N * T , donde N * denota el adjunto de N .
La normalidad de N es necesario, como se ve mediante la adopción de T = N . Cuando T es autoadjunto, la afirmación es trivial independientemente de si N es normal:
Prueba tentativa : si el espacio de Hilbert subyacente es de dimensión finita, el teorema espectral dice que N tiene la forma
donde P i son proyecciones ortogonales por pares. Uno espera que TN = NT si y sólo si TP i = P i T . De hecho, se puede demostrar que es cierto mediante argumentos elementales (por ejemplo, se puede demostrar que todos los P i son representables como polinomios de N y, por esta razón, si T conmuta con N , tiene que conmutar con P i ...). Por lo tanto, T también debe conmutar con
En general, cuando el espacio de Hilbert no es de dimensión finita, el operador normal N da lugar a una medida de proyección P en su espectro, σ ( N ), que asigna una proyección P Ω a cada subconjunto de Borel de σ ( N ) . N se puede expresar como
A diferencia del caso de dimensión finita, es de ninguna manera obvias que TN = NT implica TP Ω = P Ω T . Por lo tanto, no es tan obvio que T también conmuta con cualquier función simple de la forma
De hecho, siguiendo la construcción de la descomposición espectral para un operador T limitado, normal, no autoadjunto , se ve que para verificar que T conmuta con, la forma más sencilla es asumir que T conmuta tanto con N como con N * , ¡dando lugar a un círculo vicioso!
Esa es la relevancia del teorema de Fuglede: la última hipótesis no es realmente necesaria.
Generalización de Putnam
Lo siguiente contiene el resultado de Fuglede como un caso especial. La prueba por Rosenblum muestra a continuación es sólo que presentado por Fuglede para su teorema cuando suponiendo N = M .
Teorema (Calvin Richard Putnam) Let T , M , N sean operadores lineales en un complejo espacio de Hilbert , y supongamos que M y N son normales , M está limitada y MT = TN . Entonces M * T = TN *.
Primera prueba (Marvin Rosenblum) : Por inducción, la hipótesis implica que M k T = TN k para todo k. Por lo tanto, para cualquier λ en,
Considere la función
Esto es igual a
- ,
dónde porque es normal, y de manera similar . Sin embargo tenemos
entonces U es unitario y, por tanto, tiene la norma 1 para todo λ; lo mismo es cierto para V (λ), entonces
Así que F es una función vectorial analítica limitada, y por tanto es constante, e igual a F (0) = T . Considerando los términos de primer orden en la expansión para λ pequeña, debemos tener M * T = TN * .
El artículo original de Fuglede apareció en 1950; fue ampliado a la forma dada anteriormente por Putnam en 1951. La prueba breve dada anteriormente fue publicada por primera vez por Rosenblum en 1958; es muy elegante, pero menos general que la prueba original que también consideró el caso de los operadores ilimitados. Otra prueba simple del teorema de Putnam es la siguiente:
Segunda prueba: considere las matrices
El operador N ' es normal y, por supuesto, T' N '= N' T ' . Según el teorema de Fuglede, uno tiene
La comparación de las entradas da el resultado deseado.
De la generalización de Putnam, se puede deducir lo siguiente:
Corolario Si dos operadores normales M y N son similares, entonces son unitariamente equivalentes.
Prueba : Suponga que MS = SN donde S es un operador invertible acotado. El resultado de Putnam implica M * S = SN * , es decir
Tome el adjunto de la ecuación anterior y tenemos
Entonces
Sea S * = VR , con V un unitario (ya que S es invertible) y R la raíz cuadrada positiva de SS * . Como R es un límite de polinomios sobre SS * , lo anterior implica que R conmuta con M . También es invertible. Luego
Corolario Si M y N son operadores normales y MN = NM , entonces MN también es normal.
Prueba : el argumento invoca solo el teorema de Fuglede. Uno puede calcular directamente
Por Fuglede, lo anterior se convierte en
Pero M y N son normales, entonces
C * -álgebras
El teorema puede reformularse como un enunciado sobre elementos de C * -álgebras .
Teorema (Fuglede-Putnam-Rosenblum) Vamos x, y dos elementos normales de un C * -algebra A y z tal que xz = zy . Entonces se sigue que x * z = zy * .
Referencias
- Fuglede, Bent. Un teorema de conmutatividad para operadores normales - PNAS
- Berberian, Sterling K. (1974), Lectures in Functional Analysis and Operator Theory , Textos de posgrado en matemáticas, 15 , Nueva York-Heidelberg-Berlín: Springer-Verlag, p. 274, ISBN 0-387-90080-2, MR 0417727.
- Rudin, Walter (1973). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 25 (Primera ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 9780070542259.