En matemáticas , la teoría de operadores es el estudio de operadores lineales en espacios funcionales , comenzando con operadores diferenciales y operadores integrales . Los operadores pueden presentarse de manera abstracta por sus características, como operadores lineales acotados u operadores cerrados , y se puede considerar a los operadores no lineales . El estudio, que depende en gran medida de la topología de los espacios funcionales, es una rama del análisis funcional .
Si una colección de operadores forma un álgebra sobre un campo , entonces es un álgebra de operadores . La descripción de las álgebras de operadores es parte de la teoría de operadores.
Teoría de un solo operador
La teoría de un solo operador se ocupa de las propiedades y clasificación de los operadores, considerados uno a la vez. Por ejemplo, la clasificación de los operadores normales en términos de sus espectros entra en esta categoría.
Espectro de operadores
El teorema espectral es cualquiera de varios resultados sobre operadores lineales o sobre matrices . [1] En términos generales, el teorema espectral proporciona las condiciones bajo las cuales un operador o una matriz pueden diagonalizarse (es decir, representarse como una matriz diagonal en alguna base). Este concepto de diagonalización es relativamente sencillo para los operadores en espacios de dimensión finita, pero requiere algunas modificaciones para los operadores en espacios de dimensión infinita. En general, el teorema espectral identifica una clase de operadores lineales que pueden ser modelados por operadores de multiplicación , que son tan simples como uno puede esperar encontrar. En un lenguaje más abstracto, el teorema espectral es un enunciado sobre álgebras C * conmutativas . Véase también teoría espectral para una perspectiva histórica.
Ejemplos de operadores a los que se aplica el teorema espectral son los operadores autoadjuntos o, de manera más general, los operadores normales en los espacios de Hilbert .
El teorema espectral también proporciona una descomposición canónica , denominada descomposición espectral , descomposición de valores propios o descomposición propia , del espacio vectorial subyacente sobre el que actúa el operador.
Operadores normales
Un operador de la normalidad en un complejo espacio de Hilbert H es un continuo operador lineal N : H → H que conmuta con su operador adjunto N * , que es: NN * = N * N . [2]
Los operadores normales son importantes porque el teorema espectral es válido para ellos. Hoy en día, la clase de operadores normales se conoce bien. Ejemplos de operadores normales son
- operadores unitarios : N * = N −1
- Operadores hermitianos (es decir, operadores autoadjuntos): N * = N ; (también, operadores anti-autoadjuntos: N * = - N )
- operadores positivos : N = MM *
- las matrices normales pueden verse como operadores normales si se considera que el espacio de Hilbert es C n .
El teorema espectral se extiende a una clase más general de matrices. Sea A un operador en un espacio de producto interno de dimensión finita. Se dice que A es normal si A * A = AA * . Se puede demostrar que A es normal si y solo si es unitariamente diagonalizable: por la descomposición de Schur , tenemos A = UTU * , donde U es unitaria y T triangular superior. Desde A es normal, TT * = T * T . Por lo tanto, T debe ser diagonal ya que las matrices triangulares superiores normales son diagonales. Lo contrario es obvio.
En otras palabras, A es normal si y solo si existe una matriz unitaria U tal que
donde D es una matriz diagonal . A continuación, las entradas de la diagonal de D son los valores propios de A . Los vectores columna de U son los autovectores de A y son ortonormales. A diferencia del caso de Hermitian, las entradas de D no necesitan ser reales.
Descomposición polar
La descomposición polar de cualquier operador lineal acotado A entre espacios de Hilbert complejos es una factorización canónica como el producto de una isometría parcial y un operador no negativo. [3]
La descomposición polar para matrices se generaliza de la siguiente manera: si A es un operador lineal acotado, entonces hay una factorización única de A como un producto A = UP donde U es una isometría parcial, P es un operador autoadjunto no negativo y el espacio de U es el cierre de la gama de P .
El operador U debe debilitarse a una isometría parcial, en lugar de unitaria, debido a los siguientes problemas. Si A es el desplazamiento unilateral en l 2 ( N ), entonces | A | = { A * A } ½ = I . Entonces, si A = U | A |, U debe ser A , que no es unitario.
La existencia de una descomposición polar es una consecuencia del lema de Douglas :
- Lema Si A , B son operadores acotados en un espacio de Hilbert H , y A * A ≤ B * B , entonces existe una contracción C tal que A = CB . Además, C es único si Ker ( B * ) ⊂ Ker ( C ).
El operador C puede ser definido por C (Bh) = Ah , extendido por continuidad hasta el cierre de Ran ( B ), y por cero en el complemento ortogonal de Ran ( B ). El operador C está bien definido ya que A * A ≤ B * B implica Ker ( B ) ⊂ Ker ( A ). Luego sigue el lema.
En particular, si A * A = B * B , entonces C es una isometría parcial, que es única si Ker ( B * ) ⊂ Ker ( C ). En general, para cualquier operador acotado A ,
donde ( A * A ) ½ es la única raíz cuadrada positiva de A * A dada por el cálculo funcional habitual . Entonces, por el lema, tenemos
para alguna isometría parcial U , que es única si Ker ( A ) ⊂ Ker ( U ). (Note Ker ( A ) = Ker ( A * A ) = Ker ( B ) = Ker ( B * ), donde B = B * = ( A * A ) ½ .) Tome P como ( A * A ) ½ y se obtiene la descomposición polar A = UP . Observe que se puede usar un argumento análogo para mostrar A = P'U ' , donde P' es positivo y U ' una isometría parcial.
Cuando H es de dimensión finita, U puede extenderse a un operador unitario; esto no es cierto en general (vea el ejemplo anterior). Alternativamente, la descomposición polar se puede mostrar usando la versión del operador de la descomposición de valor singular .
Por propiedad del cálculo funcional continuo , | A | está en el C * -algebra generada por A . Una declaración similar pero más débil se mantiene para la isometría parcial: la parte polar T está en el álgebra de von Neumann generada por una . Si A es invertible, U estará en el C * -álgebra generada por A también.
Conexión con análisis complejo
Muchos operadores que se estudian son operadores en espacios de Hilbert de funciones holomórficas , y el estudio del operador está íntimamente ligado a cuestiones de teoría de funciones. Por ejemplo, el teorema de Beurling describe los subespacios invariantes del desplazamiento unilateral en términos de funciones internas, que son funciones holomórficas limitadas en el disco unitario con valores de frontera unimodulares en casi todas partes del círculo. Beurling interpretó el desplazamiento unilateral como una multiplicación por la variable independiente en el espacio de Hardy . [4] El éxito en el estudio de los operadores de multiplicación y, en general, de los operadores de Toeplitz (que son la multiplicación, seguida de la proyección en el espacio Hardy) ha inspirado el estudio de cuestiones similares en otros espacios, como el espacio de Bergman .
Álgebras de operador
La teoría de las álgebras de operadores pone de relieve las álgebras de operadores como las C * -álgebras .
C * -álgebras
AC * -algebra, A , es un álgebra de Banach sobre el campo de los números complejos , junto con un mapa *: A → A . Uno escribe x * para la imagen de un elemento x de A . El mapa * tiene las siguientes propiedades: [5]
- Es una involución , por cada x en A
- Para todo x , y en A :
- Para cada λ en C y cada x en A :
- Para todo x en A :
Observación. Las primeras tres identidades dicen que A es un * -álgebra . La última identidad se llama identidad C * y es equivalente a:
La identidad C * es un requisito muy fuerte. Por ejemplo, junto con la fórmula del radio espectral , implica que la norma C * está determinada únicamente por la estructura algebraica:
Ver también
- Subespacio invariante
- Cálculo funcional
- Teoría espectral
- Formalismo resolutivo
- Operador compacto
- Teoría de ecuaciones integrales de Fredholm
- Operador integral
- Operador de Fredholm
- Teoría de ecuaciones integrales de Fredholm
- Operador autoadjunto
- Operador ilimitado
- Operador diferencial
- Cálculo umbral
- Mapeo de contracciones
- Operador positivo en un espacio de Hilbert
- Operador no negativo en un espacio vectorial parcialmente ordenado
Referencias
- ^ Sunder, VS Análisis funcional: teoría espectral (1997) Birkhäuser Verlag
- ^ Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Álgebra lineal (2ª ed.), Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc., p. 312, MR 0276251
- ^ Conway, John B. (2000), Un curso de teoría del operador , Estudios de posgrado en matemáticas , American Mathematical Society, ISBN 0821820656
- ^ Nikolski, N. (1986), Tratado sobre el operador de turno , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. Un tratamiento sofisticado de las conexiones entre la teoría del operador y la teoría de la función en el espacio de Hardy .
- ^ Arveson, W. (1976), Una invitación a C * -Álgebra , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. Una excelente introducción al tema, accesible para aquellos con conocimientos de análisis funcional básico .
Otras lecturas
- Conway, JB : Un curso de análisis funcional , 2da edición, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
- Yoshino, Takashi (1993). Introducción a la teoría del operador . Chapman y Hall / CRC. ISBN 978-0582237438.
enlaces externos
- Historia de la teoría del operador