Functores plenos y fieles
En la teoría de categorías , un funtor fiel (respectivamente un funtor completo ) es un funtivo que es inyectivo (respectivamente sobreyectivo ) en hom-sets .
Explícitamente, permiten C y D sean ( localmente pequeñas ) categorías y dejar F : C → D sea un funtor de C a D . El funtor F induce una función
Un fiel functor no necesita inyectar objetos o morfismos. Es decir, dos objetos X y X ′ pueden mapear al mismo objeto en D (razón por la cual el rango de un funtor completo y fiel no es necesariamente isomorfo a C ), y dos morfismos f : X → Y y f ′: X '→ Y ' (con diferentes dominios / codomains) puede asignar a la misma morfismo en D . Del mismo modo, un funtor completo no necesita ser sobreyectivo en objetos o morfismos. Puede haber objetos en D que no tengan la forma FX para algunas X en C. Morphisms entre tales objetos claramente no pueden venir de morfismos en C .
Un functor pleno y fiel es necesariamente inyectivo en objetos hasta el isomorfismo. Es decir, si F : C → D es un funtor completo y fiel y entonces .
La noción de que un functor sea 'pleno' o 'fiel' no se traduce en la noción de una categoría (∞, 1). En una categoría (∞, 1), los mapas entre dos objetos cualesquiera están dados por un espacio solo hasta la homotopía. Dado que la noción de inyección y sobreyección no son nociones invariantes de homotopía (considere un intervalo incrustado en los números reales frente a un mapeo de intervalo a un punto), no tenemos la noción de que un functor sea "completo" o "fiel". Sin embargo, podemos definir un functor de cuasi-categorías para que sea completamente fiel si para cada X e Y en C, el mapa es una equivalencia débil.
