Proceso empírico

Para el tema de control de procesos, consulte Control de procesos § Modelo de control .

En la teoría de la probabilidad , un proceso empírico es un proceso estocástico que describe la proporción de objetos en un sistema en un estado dado. Para un proceso en un espacio de estado discreto, una cadena de Markov de tiempo continuo de población ^{[1] [2]} o modelo de población de Markov ^[3] es un proceso que cuenta el número de objetos en un estado dado (sin reescalar). En la teoría del campo medio , los teoremas del límite (a medida que aumenta el número de objetos) se consideran y generalizan el teorema del límite central para medidas empíricas . Las aplicaciones de la teoría de los procesos empíricos surgen en la estadística no paramétrica. ^[4]

Definición

Para X ₁ , X ₂ , ... X _n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas en R con función de distribución acumulativa común F ( x ), la función de distribución empírica se define por

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{(-\infty ,x]}(X_{i}),}$

donde _C es la función indicadora del conjunto C .

Para cada x (fijo) , F _n ( x ) es una secuencia de variables aleatorias que convergen a F ( x ) casi con seguridad por la fuerte ley de los números grandes . Es decir, F _n converge a F puntualmente . Glivenko y Cantelli reforzaron este resultado al demostrar la convergencia uniforme de F _n a F mediante el teorema de Glivenko-Cantelli . ^[5]

Una versión centrada y escalada de la medida empírica es la medida firmada

${\displaystyle G_{n}(A)={\sqrt {n}}(P_{n}(A)-P(A))}$

Induce un mapa de funciones medibles f dadas por

${\displaystyle f\mapsto G_{n}f={\sqrt {n}}(P_{n}-P)f={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})-\mathbb {E} f\right)}$

Por el teorema del límite central , converge en la distribución a una normal de variable aleatoria N (0,  P ( A ) (1 -  P ( A ))) para fijo medible conjunto A . De manera similar, para una función fija f , converge en distribución a una variable aleatoria normal , siempre que exista y .${\displaystyle G_{n}(A)}$ ${\displaystyle G_{n}f}$${\displaystyle N(0,\mathbb {E} (f-\mathbb {E} f)^{2})}$${\displaystyle \mathbb {E} f}$${\displaystyle \mathbb {E} f^{2}}$

Definición

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}(c){\bigr )}_{c\in {\mathcal {C}}}}$se llama un proceso empírico indexada por , una colección de subconjuntos medibles de S .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}f{\bigr )}_{f\in {\mathcal {F}}}}$ se denomina proceso empírico indexado por , una colección de funciones medibles de S a .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un resultado significativo en el área de los procesos empíricos es el teorema de Donsker . Ha llevado a un estudio de las clases de Donsker : conjuntos de funciones con la útil propiedad de que los procesos empíricos indexados por estas clases convergen débilmente en un determinado proceso gaussiano . Si bien se puede demostrar que las clases de Donsker son clases de Glivenko-Cantelli , lo contrario no es cierto en general.

Ejemplo

Como ejemplo, considere las funciones de distribución empírica . Para variables aleatorias iid de valor real X ₁ , X ₂ , ..., X _n , están dadas por

${\displaystyle F_{n}(x)=P_{n}((-\infty ,x])=P_{n}I_{(-\infty ,x]}.}$

En este caso, los procesos empíricos están indexados por una clase Se ha demostrado que es una clase Donsker, en particular,${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(-\infty ,x]:x\in \mathbb {R} \}.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$converge débilmente en un puente browniano B ( F ( x )).${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Ver también

• Transformación Khmaladze
• Débil convergencia de medidas
• Teorema de Glivenko-Cantelli

Referencias

1. Bortolussi, L .; Hillston, J .; Latella, D .; Massink, M. (2013). "Aproximación continua del comportamiento de los sistemas colectivos: Un tutorial" (PDF) . Evaluación de desempeño . 70 (5): 317. doi : 10.1016 / j.peva.2013.01.001 . hdl : 20.500.11820 / bb9b5e35-013a-47ba-9944-0cb0b1925a4f .
2. Stefanek, A .; Hayden, RA; Mac Gonagle, M .; Bradley, JT (2012). "Análisis de campo medio de modelos de Markov con retroalimentación de recompensa". Técnicas y aplicaciones de modelado analítico y estocástico . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 7314 . pag. 193. doi : 10.1007 / 978-3-642-30782-9_14 . ISBN 978-3-642-30781-2.
3. Dayar, TR; Hermanns, H .; Spieler, D .; Wolf, V. (2011). "Delimitación de la distribución de equilibrio de los modelos de población de Markov". Álgebra lineal numérica con aplicaciones . 18 (6): 931. arXiv : 1007.3130 . doi : 10.1002 / nla.795 .
4. Mojirsheibani, M. (2007). "Estimación de curvas no paramétricas con datos faltantes: un enfoque de proceso empírico general". Revista de Planificación e Inferencia Estadística . 137 (9): 2733–2758. doi : 10.1016 / j.jspi.2006.02.016 .
5. Wolfowitz, J. (1954). "Generalización del teorema de Glivenko-Cantelli" . Los Anales de Estadística Matemática . 25 : 131-138. doi : 10.1214 / aoms / 1177728852 .

Otras lecturas

• Billingsley, P. (1995). Probabilidad y medida (tercera ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 0471007102.
• Donsker, MD (1952). "Justificación y extensión del enfoque heurístico de Doob a los teoremas de Kolmogorov-Smirnov" . Los Anales de Estadística Matemática . 23 (2): 277–281. doi : 10.1214 / aoms / 1177729445 .
• Dudley, RM (1978). "Teoremas del límite central para medidas empíricas" . Los anales de la probabilidad . 6 (6): 899–929. doi : 10.1214 / aop / 1176995384 .
• Dudley, RM (1999). Teoremas uniformes del límite central . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 63 . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press.
• Kosorok, MR (2008). Introducción a los procesos empíricos y la inferencia semiparamétrica . Springer Series en Estadística. doi : 10.1007 / 978-0-387-74978-5 . ISBN 978-0-387-74977-8.
• Shorack, GR; Wellner, JA (2009). Procesos empíricos con aplicaciones a la estadística . doi : 10.1137 / 1.9780898719017 . ISBN 978-0-89871-684-9.
• van der Vaart, Aad W .; Wellner, Jon A. (2000). Convergencia débil y procesos empíricos: con aplicaciones a la estadística (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-94640-5.
• Dzhaparidze, KO; Nikulin, MS (1982). "Distribuciones de probabilidad de las estadísticas de Kolmogorov y omega-cuadrado para distribuciones continuas con parámetros de cambio y escala". Revista de matemáticas soviéticas . 20 (3): 2147. doi : 10.1007 / BF01239992 .

enlaces externos

• Procesos empíricos: teoría y aplicaciones , de David Pollard, un libro de texto disponible en línea.
• Introducción a los procesos empíricos y la inferencia semiparamétrica , por Michael Kosorok, otro libro de texto disponible en línea.