En matemáticas , la medida con signo es una generalización del concepto de medida al permitirle tener valores negativos . En la teoría de medidas, una medida con signo a veces se denomina carga . [1]
Definición
Hay dos conceptos ligeramente diferentes de una medida con signo, dependiendo de si se le permite tomar valores infinitos o no. Por lo general, a las medidas firmadas solo se les permite tomar valores reales finitos , mientras que algunos libros de texto les permiten tomar valores infinitos. Para evitar confusiones, este artículo llamará a estos dos casos "medidas firmadas finitas" y "medidas firmadas ampliadas".
Dado un espacio medible ( X , Σ) (es decir, un conjunto X con un σ-álgebra Σ en él), una medida con signo extendido es una función
tal que y es σ-aditivo , es decir, satisface la igualdad
para cualquier secuencia , , ..., , ... de conjuntos disjuntos en Σ. La serie de la derecha debe converger absolutamente cuando el valor del lado izquierdo es finito. Una consecuencia es que una medida con signo extendido puede tomar + ∞ como valor, o puede tomar −∞ como valor, pero ambos no están disponibles. La expresión ∞ - ∞ no está definida [2] y debe evitarse.
Una medida con signo finito (también conocida como medida real ) se define de la misma manera, excepto que solo se permite tomar valores reales. Es decir, no puede tomar + ∞ o −∞.
Las medidas con signo finito forman un espacio vectorial real , mientras que las medidas con signo extendido no lo hacen porque no se cierran con la adición. Por otro lado, las medidas son medidas extendidas firmadas, pero no son en general medidas finitas firmadas.
Ejemplos de
Considere una medida no negativaen el espacio ( X , Σ) y una función medible f : X → R tal que
Entonces, una medida con signo finito viene dada por
para todo A en Σ.
Esta medida firmada solo toma valores finitos. Para permitir que tome + ∞ como valor, es necesario reemplazar el supuesto de que f es absolutamente integrable con la condición más relajada
donde f - ( x ) = max (- f ( x ), 0) es la parte negativa de f .
Propiedades
Lo que sigue son dos resultados que implicarán que una medida con signo extendido es la diferencia de dos medidas no negativas, y una medida con signo finito es la diferencia de dos medidas no negativas finitas.
El teorema de descomposición de Hahn establece que dada una medida con signo μ, existen dos conjuntos medibles P y N tales que:
- P ∪ N = X y P ∩ N = ∅;
- μ ( E ) ≥ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ P - en otras palabras, P es un conjunto positivo ;
- μ ( E ) ≤ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ N - es decir, N es un conjunto negativo.
Por otra parte, esta descomposición es única hasta añadiendo a / restando μ- conjuntos nulos de P y N .
Considere entonces dos medidas no negativas μ + y μ - definidas por
y
para todos los conjuntos medibles E , es decir, E en Σ.
Se puede comprobar que tanto μ + como μ - son medidas no negativas, con una que toma solo valores finitos, y se denominan parte positiva y parte negativa de μ, respectivamente. Uno tiene que μ = μ + - μ - . La medida | μ | = μ + + μ - se denomina variación de μ, y su valor máximo posible, || μ || = | μ | ( X ), se denomina variación total de μ.
Esta consecuencia del teorema de descomposición de Hahn se llama descomposición de Jordan . Las medidas μ + , μ - y | μ | son independientes de la elección de P y N en el teorema de descomposición de Hahn.
Uso
Una medida viene dada por la función de área en regiones del plano cartesiano . Esta medida se convierte en un cargo en ciertos casos. Por ejemplo, cuando el logaritmo natural se define por el área bajo la curva y = 1 / x para x en los números reales positivos , la región con 0 < x <1 se considera negativa. [3]
Una región definida por una función continua y = f ( x ), el eje x, y las líneas x = un y x = b puede evaluarse por la integración de Riemann . En este caso la evaluación es un cargo con el signo del cargo correspondiente al signo de y .
Al definir ángulos hiperbólicos dirigidos en términos de área de un sector hiperbólico, la línea y = x divide el cuadrante I en regiones positivas y negativas para una medida con signo.
El espacio de las medidas firmadas
La suma de dos medidas con signo finito es una medida con signo finito, al igual que el producto de una medida con signo finito por un número real, es decir, están cerradas bajo combinaciones lineales . De ello se deduce que el conjunto de medidas finitas con signo en un espacio medible ( X , Σ) es un espacio vectorial real ; esto contrasta con las medidas positivas, que solo se cierran bajo combinaciones cónicas y, por lo tanto, forman un cono convexo pero no un espacio vectorial. Además, la variación total define una norma con respecto a la cual el espacio de medidas finitas firmadas se convierte en un espacio de Banach . Este espacio tiene aún más estructura, ya que se puede demostrar que es un retículo de Banach completo de Dedekind y, al hacerlo, se puede demostrar que el teorema Radon-Nikodym es un caso especial del teorema espectral de Freudenthal .
Si X es un espacio separable compacto, entonces el espacio de medidas de Baire con signo finito es el dual del espacio de Banach real de todas las funciones continuas de valor real en X , según el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .
Ver también
- Medida compleja
- Medida espectral
- Medida vectorial
- Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani
- Variación total
Notas
- ^ Bhaskara Rao 1983
- ^ Consulte el artículo " Recta numérica real extendida " para obtener más información.
- ^ El logaritmo definido como integral de la Universidad de California, Davis
Referencias
- Bartle, Robert G. (1966), Los elementos de la integración , Nueva York: John Wiley and Sons , Zbl 0146.28201
- Bhaskara Rao, KPS; Bhaskara Rao, M. (1983), Teoría de los cargos: un estudio de medidas finitamente aditivas , matemáticas puras y aplicadas, Londres: Academic Press , ISBN 0-12-095780-9, Zbl 0516.28001
- Cohn, Donald L. (1997) [1980], teoría de la medida , Boston: Birkhäuser Verlag , ISBN 3-7643-3003-1, Zbl 0436.28001
- Diestel, JE; Uhl, JJ Jr. (1977), medidas vectoriales , estudios y monografías matemáticas, 15 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1515-6, Zbl 0369.46039
- Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1959), Operadores lineales. Parte I: Teoría general. Parte II: Teoría espectral. Operadores autoadjuntos en Hilbert Space. Parte III: Operadores espectrales. , Matemáticas puras y aplicadas, 6 , Nueva York y Londres: Interscience Publishers , págs. XIV + 858, ISBN 0-471-60848-3, Zbl 0084.10402
- Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1963), Operadores lineales. Parte I: Teoría general. Parte II: Teoría espectral. Operadores autoadjuntos en Hilbert Space. Parte III: Operadores espectrales. , Pure and Applied Mathematics, 7 , Nueva York y Londres: Interscience Publishers , págs. IX + 859–1923, ISBN 0-471-60847-5, Zbl 0128.34803
- Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1971), Operadores lineales. Parte I: Teoría general. Parte II: Teoría espectral. Operadores autoadjuntos en Hilbert Space. Parte III: Operadores espectrales. , Pure and Applied Mathematics, 8 , Nueva York y Londres: Interscience Publishers , págs. XIX + 1925–2592, ISBN 0-471-60846-7, Zbl 0243.47001
- Zaanen, Adriaan C. (1996), Introducción a la teoría del operador en espacios Riesz , Springer Publishing , ISBN 3-540-61989-5
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