En el cálculo diferencial de una sola variable , el lema del incremento fundamental es una consecuencia inmediata de la definición de la derivada f ' ( a ) de una función f en un punto a :
El lema afirma que la existencia de esta derivada implica la existencia de una función tal que
para lo suficientemente pequeño pero distinto de cero h . Para una prueba, basta con definir
y verificar esto cumple los requerimientos.
Diferenciabilidad en dimensiones superiores
En que la existencia de caracteriza de forma única el número , se puede decir que el lema del incremento fundamental caracteriza la diferenciabilidad de las funciones de una sola variable. Por esta razón, se puede utilizar una generalización del lema en la definición de diferenciabilidad en el cálculo multivariable . En particular, suponga que f mapea algún subconjunto de a . Entonces se dice que f es diferenciable en a si hay una función lineal
y una función
tal que
para h distintos de cero suficientemente cerca de 0 . En este caso, M es la derivada única (o derivada total , para distinguir de las derivadas direccionales y parciales ) de f en a . En particular, M viene dado por la matriz jacobiana de f evaluada en a .
Ver también
Referencias
- Talman, Louis (12 de septiembre de 2007). "Diferenciabilidad para funciones multivariables" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de junio de 2010 . Consultado el 28 de junio de 2012 .
- Stewart, James (2008). Cálculo (7ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 942. ISBN 0538498846.