En matemáticas , la derivada total de una función f en un punto es la mejor aproximación lineal cerca de este punto de la función con respecto a sus argumentos. A diferencia de las derivadas parciales , la derivada total se aproxima a la función con respecto a todos sus argumentos, no solo a uno solo. En muchas situaciones, esto es lo mismo que considerar todas las derivadas parciales simultáneamente. El término "derivada total" se usa principalmente cuando f es una función de varias variables, porque cuando f es una función de una sola variable, la derivada total es la misma que la derivada de la función. [1] :198-203
"Derivado total" también se utiliza a veces como sinónimo del derivado material en mecánica de fluidos .
La derivada total como mapa lineal
Dejar ser un subconjunto abierto . Entonces una funciónse dice que es ( totalmente ) diferenciable en un puntosi existe una transformación lineal tal que
El mapa lineal se llama el ( total de ) derivado o ( total de ) diferencial de a . Otras notaciones para la derivada total incluyen y . Una función es ( totalmente ) diferenciable si su derivada total existe en cada punto de su dominio.
Conceptualmente, la definición de la derivada total expresa la idea de que es la mejor aproximación lineal a en el punto . Esto se puede precisar cuantificando el error en la aproximación lineal determinada por. Para hacerlo, escribe
dónde es igual al error en la aproximación. Decir que la derivada de a es es equivalente a la declaración
dónde es una notación pequeña-o e indica que es mucho más pequeño que como . La derivada totales la transformación lineal única para la que el término de error es tan pequeño, y este es el sentido en el que es la mejor aproximación lineal a.
La función es diferenciable si y solo si cada uno de sus componentes es diferenciable, por lo que cuando se estudian las derivadas totales, a menudo es posible trabajar una coordenada a la vez en el codominio. Sin embargo, no ocurre lo mismo con las coordenadas del dominio. Es cierto que si es diferenciable en , luego cada derivada parcial existe en . Lo contrario es falso: puede suceder que todas las derivadas parciales de a existen, pero no es diferenciable en . Esto significa que la función es muy "aproximada" en, a tal extremo que su comportamiento no puede describirse adecuadamente por su comportamiento en las direcciones de coordenadas. Cuándono es tan duro, esto no puede suceder. Más precisamente, si todas las derivadas parciales de a existen y son continuos en un barrio de , luego es diferenciable en . Cuando esto sucede, además, la derivada total dees la transformación lineal correspondiente a la matriz jacobiana de derivadas parciales en ese punto. [2]
La derivada total como forma diferencial
Cuando la función en consideración tiene un valor real, la derivada total puede reformularse utilizando formas diferenciales . Por ejemplo, suponga que es una función diferenciable de variables . La derivada total de a puede escribirse en términos de su matriz jacobiana, que en este caso es una matriz de filas:
La propiedad de aproximación lineal de la derivada total implica que si
es un vector pequeño (donde el denota transposición, de modo que este vector es un vector columna), entonces
Heurísticamente, esto sugiere que si son incrementos infinitesimales en las direcciones de coordenadas, entonces
De hecho, la noción de infinitesimal, que aquí es meramente simbólica, puede equiparse con una extensa estructura matemática. Las técnicas, como la teoría de las formas diferenciales , dan efectivamente descripciones analíticas y algebraicas de objetos como incrementos infinitesimales,. Por ejemplo,puede inscribirse como un funcional lineal en el espacio vectorial. Evaluar en un vector en mide cuanto puntos en el la dirección de la coordenada. La derivada totales una combinación lineal de funcionales lineales y, por tanto, es en sí mismo un funcional lineal. La evaluación mide cuanto puntos en la dirección determinada por a , y esta dirección es el gradiente. Este punto de vista hace que la derivada total sea una instancia de la derivada exterior .
Supongamos ahora que es una función con valores vectoriales, es decir, . En este caso, los componentes de son funciones de valor real, por lo que tienen formas diferenciales asociadas . La derivada totalamalgama estas formas en un solo objeto y, por lo tanto, es una instancia de una forma diferencial con valores vectoriales .
La regla de la cadena para las derivadas totales
La regla de la cadena tiene una declaración particularmente elegante en términos de derivados totales. Dice que, para dos funciones y , la derivada total del compuesto a satisface
Si las derivadas totales de y se identifican con sus matrices jacobianas, entonces el compuesto del lado derecho es simplemente una multiplicación de matrices. Esto es enormemente útil en aplicaciones, ya que permite dar cuenta de dependencias esencialmente arbitrarias entre los argumentos de una función compuesta.
Ejemplo: diferenciación con dependencias directas
Supóngase que f es una función de dos variables, x y y . Si estas dos variables son independientes, entonces el dominio de f es, Entonces el comportamiento de f puede entenderse en términos de sus derivados parciales en la x y Y direcciones. Sin embargo, en algunas situaciones, x e y pueden ser dependientes. Por ejemplo, puede suceder que f esté restringido a una curva. En este caso, estamos realmente interesados en el comportamiento de la función compuesta. La derivada parcial de f con respecto ax no da la verdadera tasa de cambio de f con respecto a cambiar x porque cambiar x necesariamente cambia y . Sin embargo, la regla de la cadena para la derivada total tiene en cuenta tales dependencias. Escribir. Entonces, la regla de la cadena dice
Al expresar la derivada total usando matrices jacobianas, esto se convierte en:
Suprimir la evaluación en para mayor legibilidad, también podemos escribir esto como
Esto da una fórmula sencilla para la derivada de en términos de las derivadas parciales de y la derivada de .
Por ejemplo, suponga
La tasa de cambio de f con respecto ax suele ser la derivada parcial de f con respecto a x ; en este caso,
Sin embargo, si y depende de x , la derivada parcial no da la verdadera tasa de cambio de f cuando x cambia porque la derivada parcial supone que y es fija. Supongamos que estamos limitados a la línea
Luego
y la derivada total de f con respecto ax es
que vemos no es igual a la derivada parcial . Sin embargo, en lugar de sustituir inmediatamente por y en términos de x , también podemos usar la regla de la cadena como se indicó anteriormente:
Ejemplo: diferenciación con dependencias indirectas
Si bien a menudo se pueden realizar sustituciones para eliminar las dependencias indirectas, la regla de la cadena proporciona una técnica más eficiente y general. Suponer es una función del tiempo y variables que a su vez dependen del tiempo. Entonces, la derivada de tiempo de es
La regla de la cadena expresa esta derivada en términos de las derivadas parciales de y las derivadas temporales de las funciones :
Esta expresión se usa a menudo en física para una transformación de calibre del Lagrangiano , como dos Lagrangianos que se diferencian solo por la derivada del tiempo total de una función del tiempo y el Las coordenadas generalizadas conducen a las mismas ecuaciones de movimiento. Un ejemplo interesante se refiere a la resolución de la causalidad en relación con la teoría simétrica en el tiempo de Wheeler-Feynman . El operador entre paréntesis (en la expresión final anterior) también se denomina operador de derivada total (con respecto a).
Por ejemplo, la derivada total de es
Aqui no hay término desde en sí mismo no depende de la variable independiente directamente.
Ecuación diferencial total
Una ecuación diferencial total es una ecuación diferencial expresada en términos de derivadas totales. Dado que la derivada exterior no tiene coordenadas, en un sentido al que se le puede dar un significado técnico, tales ecuaciones son intrínsecas y geométricas .
Aplicación a sistemas de ecuaciones
En economía , es común que la derivada total surja en el contexto de un sistema de ecuaciones. [1] : págs. 217-220 Por ejemplo, un sistema simple de oferta y demanda podría especificar la cantidad q de un producto demandado como función D de su precio py la renta de los consumidores I , siendo esta última una variable exógena , y podría especifique la cantidad ofrecida por los productores como una función S de su precio y dos variables exógenas de costo de recursos r y w . El sistema de ecuaciones resultante
determina los valores de equilibrio de mercado de las variables p y q . La derivada totalde p con respecto a r , por ejemplo, da el signo y la magnitud de la reacción del precio de mercado a la variable exógena r . En el sistema indicado, hay un total de seis posibles derivadas totales, también conocidas en este contexto como derivadas estáticas comparativas : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw y dq / dI . Las derivadas totales se encuentran diferenciando totalmente el sistema de ecuaciones, dividiendo por, digamos dr , tratando dq / dr y dp / dr como las incógnitas, estableciendo dI = dw = 0 , y resolviendo las dos ecuaciones totalmente diferenciadas simultáneamente, típicamente por usando la regla de Cramer .
Ver también
- Derivada de Fréchet - generalización de la derivada total
Referencias
- ↑ a b Chiang, Alpha C. (1984). Métodos Fundamentales de Economía Matemática (Tercera ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
- ^ Abraham, Ralph ; Marsden, JE ; Ratiu, Tudor (2012). Manifolds, análisis tensorial y aplicaciones . Springer Science & Business Media. pag. 78.
- AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (segunda edición) , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
- De thesaurus.maths.org derivada total
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Derivado total" . MathWorld .
- Ronald D. Kriz (2007) Visualización de derivadas totales de funciones escalares de dos dimensiones utilizando superficies elevadas y planos tangentes de Virginia Tech