Continuidad absoluta

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En cálculo , la continuidad absoluta es una propiedad de suavidad de las funciones que es más fuerte que la continuidad y la continuidad uniforme . La noción de continuidad absoluta permite obtener generalizaciones de la relación entre las dos operaciones centrales del cálculo : diferenciación e integración . Esta relación se caracteriza comúnmente (por el teorema fundamental del cálculo ) en el marco de la integración de Riemann , pero con continuidad absoluta puede formularse en términos de integración de Lebesgue . Para funciones de valor real en ellínea real , aparecen dos nociones interrelacionadas: continuidad absoluta de funciones y continuidad absoluta de medidas . Estas dos nociones se generalizan en diferentes direcciones. La derivada habitual de una función está relacionada con la derivada de Radon-Nikodym , o densidad , de una medida.

Una función continua no es absolutamente continua si no es uniformemente continua , lo que puede suceder si el dominio de la función no es compacto; los ejemplos son tan( x ) sobre [0, π /2) , x ² sobre todo el real y sen(1/ x ) sobre (0, 1). Pero una función continua f puede no ser absolutamente continua incluso en un intervalo compacto. Puede que no sea "diferenciable en casi todas partes" (como la función de Weierstrass , que es no diferenciable en ninguna parte), o puede ser diferenciable en casi todas partes y su derivada f  ′ puede ser integrable de Lebesgue, pero la integral de f  ′ difiere del incremento de f (cuánto cambia f en un intervalo). Esto sucede por ejemplo con la función de Cantor .

Sea un intervalo en la recta real . Una función es absolutamente continua si para cada número positivo , hay un número positivo tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares de con satisface ^[1]${\ estilo de visualización yo}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x_{k}<y_{k}\in I}$

Se denota el conjunto de todas las funciones absolutamente continuas sobre .${\displaystyle I}$${\displaystyle \operatorname {AC} (I)}$

La equivalencia entre (1) y (3) se conoce como el teorema fundamental del cálculo integral de Lebesgue , debido a Lebesgue . ^[3]

Para una definición equivalente en términos de medidas ver la sección Relación entre las dos nociones de continuidad absoluta .

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