En álgebra abstracta , cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Además, para un grupo cíclico finito de orden n , el orden de cada subgrupo es un divisor de n , y hay exactamente un subgrupo para cada divisor. [1] [2] Este resultado se ha denominado teorema fundamental de los grupos cíclicos . [3] [4]
Grupos cíclicos finitos
Para cada grupo finito G de orden n , las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- G es cíclico.
- Para cada divisor d de n , G tiene como máximo un subgrupo de orden d .
Si cualquiera (y por lo tanto ambos) son verdaderos, se deduce que existe exactamente un subgrupo de orden d , para cualquier divisor de n . Esta declaración se conoce con varios nombres, como caracterización por subgrupos . [5] [6] [7] (Ver también grupo cíclico para una caracterización.)
Existen grupos finitos distintos de los grupos cíclicos con la propiedad de que todos los subgrupos adecuados son cíclicos; el grupo de Klein es un ejemplo. Sin embargo, el grupo de Klein tiene más de un subgrupo de orden 2, por lo que no cumple con las condiciones de la caracterización.
El grupo cíclico infinito
El grupo cíclico infinito es isomorfo al subgrupo aditivo Z de los enteros. Hay un subgrupo d Z para cada entero d (que consta de los múltiplos de d ), y con la excepción del grupo trivial (generado por d = 0), cada subgrupo de este tipo es en sí mismo un grupo cíclico infinito. Dado que el grupo cíclico infinito es un grupo libre en un generador (y el grupo trivial es un grupo libre sin generadores), este resultado puede verse como un caso especial del teorema de Nielsen-Schreier de que cada subgrupo de un grupo libre es él mismo libre. [8]
El teorema fundamental para los grupos cíclicos finitos se puede establecer a partir del mismo teorema para los grupos cíclicos infinitos, considerando cada grupo cíclico finito como un grupo cociente del grupo cíclico infinito. [8]
Celosía de subgrupos
Tanto en el caso finito como en el infinito, la red de subgrupos de un grupo cíclico es isomorfa al dual de una red de divisibilidad . En el caso finito, la red de subgrupos de un grupo cíclico de orden n es isomorfa al dual de la red de divisores de n , con un subgrupo de orden n / d para cada divisor d . El subgrupo de orden n / d es un subgrupo del subgrupo de orden n / e si y solo si e es un divisor de d . La red de subgrupos del grupo cíclico infinito se puede describir de la misma manera, como el dual de la red de divisibilidad de todos los enteros positivos. Si el grupo cíclico infinito se representa como el grupo aditivo en los números enteros, entonces el subgrupo generado por d es un subgrupo del subgrupo generado por e si y solo si e es un divisor de d . [8]
Las celosías de divisibilidad son celosías distributivas y, por lo tanto, también lo son las celosías de subgrupos de grupos cíclicos. Esto proporciona otra caracterización alternativa de los grupos cíclicos finitos: son exactamente los grupos finitos cuyas redes de subgrupos son distributivas. De manera más general, un grupo generado finitamente es cíclico si y solo si su red de subgrupos es distributiva y un grupo arbitrario es localmente cíclico si y solo su red de subgrupos es distributiva. [9] El grupo aditivo de los números racionales proporciona un ejemplo de un grupo que es localmente cíclico y que tiene una red distributiva de subgrupos, pero que no es cíclico en sí mismo.
Referencias
- ^ Hall, Marshall (1976), La teoría de los grupos , American Mathematical Society, Teorema 3.1.1, págs. 35-36, ISBN 9780821819678
- ^ Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003), A Course in Algebra , Graduate Studies in Mathematics , 56 , American Mathematical Society, Theorem 4.50, pp. 152-153, ISBN 9780821834138.
- ^ Joseph A. Gallian (2010), "Teorema fundamental de los grupos cíclicos", Álgebra abstracta contemporánea , p. 77, ISBN 9780547165097
- ^ W. Keith Nicholson (1999), "Grupos cíclicos y el orden de un elemento", Introducción al álgebra abstracta , p. 110, ISBN 0471331090
- ^ Steven Roman (2011). Fundamentos de la teoría de grupos: un enfoque avanzado . Saltador. pag. 44. ISBN 978-0-8176-8300-9.
- ^ VK Balakrishnan (1994). Esquema de combinatoria de Schaum . McGraw-Hill Prof Med / Tech. pag. 155. ISBN 978-0-07-003575-1.
- ^ Markus Stroppel (2006). Grupos localmente compactos . Sociedad Matemática Europea. pag. 64. ISBN 978-3-03719-016-6.
- ^ a b c Aluffi, Paolo (2009), "6.4 Ejemplo: subgrupos de grupos cíclicos", Álgebra, Capítulo 0 , Estudios de posgrado en matemáticas, 104 , American Mathematical Society, págs. 82–84, ISBN 9780821847817.
- ^ Ore, Øystein (1938), "Estructuras y teoría de grupos. II", Duke Mathematical Journal , 4 (2): 247–269, doi : 10.1215 / S0012-7094-38-00419-3 , hdl : 10338.dmlcz / 100155 , MR 1546048.