En la teoría de grupos , un grupo localmente cíclico es un grupo ( G , *) en el que cada subgrupo generado finitamente es cíclico .
Algunos hechos
- Cada grupo cíclico es localmente cíclico y cada grupo localmente cíclico es abeliano . [1]
- Cada grupo cíclico localmente generado de forma finita es cíclico.
- Cada subgrupo y grupo cociente de un grupo cíclico local es cíclico local.
- Cada imagen homomórfica de un grupo cíclico local es cíclica localmente.
- Un grupo es localmente cíclico si y solo si cada par de elementos del grupo genera un grupo cíclico.
- Un grupo es localmente cíclico si y solo si su red de subgrupos es distributiva ( Ore 1938 ).
- El rango libre de torsión de un grupo cíclico local es 0 o 1.
- El anillo de endomorfismo de un grupo cíclico local es conmutativo . [ cita requerida ]
Ejemplos de grupos cíclicos localmente que no son cíclicos
- El grupo aditivo de los números racionales ( Q , +) es localmente cíclico - cualquier par de números racionales un / b y c / d está contenido en el subgrupo cíclico generado por 1 / bd . [2]
- El grupo aditivo de los números racionales diádicas , los números racionales de la forma de un / 2 b , es también localmente cíclico - cualquier par de números racionales diádicas un / 2 b y c / 2 d está contenido en el subgrupo cíclico generado por 1 / 2 máx. ( B , d ) .
- Sea p cualquier primo, y sea μ p ∞ el conjunto de todas las raíces de potencia p -ésima de la unidad en C , es decir
Ejemplos de grupos abelianos que no son cíclicos localmente
- El grupo aditivo de números reales ( R , +); el subgrupo generado por 1 y π (que comprende todos los números de la forma a + b π) es isomorfo a la suma directa Z + Z , que no es cíclica.
Referencias
- ^ Rose (2012) , p. 54.
- ^ Rose (2012) , p. 52.
- Hall, Marshall, Jr. (1999), "19.2 Grupos cíclicos locales y celosías distributivas", Teoría de grupos , American Mathematical Society, págs. 340–341, ISBN 978-0-8218-1967-8.
- Ore, Øystein (1938), "Estructuras y teoría de grupos. II" (PDF) , Duke Mathematical Journal , 4 (2): 247-269, doi : 10.1215 / S0012-7094-38-00419-3 , MR 1546048.
- Rose, John S. (2012) [reedición íntegra y sin alteraciones de un trabajo publicado por primera vez por Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, en 1978]. Un curso de teoría de grupos . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68194-8.