Descomposición de Helmholtz

Ciertos campos vectoriales son la suma de un campo vectorial irrotacional y uno solenoidal.

En física y matemáticas , en el área del cálculo vectorial , el teorema de Helmholtz , ^{[1] [2]} también conocido como el teorema fundamental del cálculo vectorial , ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [ 9]} establece que cualquier campo vectorial suficientemente suave y de rápida descomposición en tres dimensiones puede resolverse en la suma de un campo vectorial irrotacional ( sin rizos ) y un campo vectorial solenoidal ( sin divergencia ); esto se conoce como elDescomposición de Helmholtz o representación de Helmholtz . Lleva el nombre de Hermann von Helmholtz . ^[10]

Como un campo vectorial irrotacional tiene un potencial escalar y un campo vectorial solenoidal tiene un potencial vectorial , la descomposición de Helmholtz establece que un campo vectorial (que satisface las condiciones apropiadas de suavidad y desintegración) se puede descomponer como la suma de la forma , donde es un campo escalar llamado "potencial escalar", y A es un campo vectorial, llamado potencial vectorial.${\displaystyle -\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A} }$${\displaystyle \phi }$

Declaración del teorema

Sea un campo vectorial en un dominio acotado , que es dos veces diferenciable continuamente, y sea ​​la superficie que encierra el dominio . Luego se puede descomponer en un componente sin rizos y un componente sin divergencias: ^[11]${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}$

y es el operador nabla con respecto a , no .${\displaystyle \nabla '}$${\displaystyle \mathbf {r'} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

Si y, por lo tanto, es ilimitado y desaparece más rápido que as , entonces se tiene ^[12]${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle r\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}}$

Derivación

Supongamos que tenemos una función vectorial de la que conocemos el rizo, y la divergencia , en el dominio y los campos en el límite. Escribiendo la función usando la función delta en el formulario${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$

${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ ,}$

donde está el operador de Laplace, tenemos${\displaystyle \nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}$

donde hemos utilizado la definición del vector laplaciano :

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a} )\ ,}$

diferenciación / integración con respecto a by y en la última línea, linealidad de los argumentos de la función:${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \nabla '/\mathrm {d} V',}$

${\displaystyle \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .}$

Luego usando las identidades vectoriales

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}}$

Gracias al teorema de la divergencia, la ecuación se puede reescribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}}$

con superficie exterior normal .${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} '}$

Definiendo

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

finalmente obtenemos

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .}$

${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$es la función de Green para el laplaciano , y en un entorno más general debería ser reemplazada por la función de Green apropiada - por ejemplo, en dos dimensiones debería ser reemplazada por . Para una generalización dimensional más alta, consulte la discusión de la descomposición de Hodge a continuación .${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$

Otra derivación de la transformada de Fourier

Tenga en cuenta que en el teorema establecido aquí, hemos impuesto la condición de que si no está definido en un dominio acotado, entonces decaerá más rápido que . Por lo tanto , se garantiza la existencia de la Transformada de Fourier de , denotada como . Aplicamos la convención${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$

La transformada de Fourier de un campo escalar es un campo escalar y la transformada de Fourier de un campo vectorial es un campo vectorial de la misma dimensión.

Ahora considere los siguientes campos escalares y vectoriales:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$

Por eso

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

Campos con divergencia y rizo prescritos

El término "teorema de Helmholtz" también puede referirse a lo siguiente. Deje C ser un campo vectorial solenoidal y d un campo escalar en R ³ que suficientemente son lisas y que desaparecen más rápido que 1 / r ² en el infinito. Entonces existe un campo vectorial F tal que

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;}$

si además el campo vectorial F desaparece cuando r → ∞ , entonces F es único. ^[12]

En otras palabras, un campo vectorial se puede construir con una divergencia y un rizo especificados, y si también desaparece en el infinito, se especifica de forma única por su divergencia y rizo. Este teorema es de gran importancia en electrostática , ya que las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctrico y magnético en el caso estático son exactamente de este tipo. ^[12] La prueba es mediante una construcción que generaliza la dada anteriormente: establecemos

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla ({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$

donde representa el operador potencial newtoniano . (Cuando se actúa sobre un campo vectorial, como ∇ × F , se define para actuar sobre cada componente).${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Formas diferenciales

La descomposición Hodge está estrechamente relacionada con la descomposición Helmholtz, generalizar a partir de los campos de vectores en R ³ a formas diferenciales en una variedad de Riemann M . La mayoría de las formulaciones de la descomposición de Hodge requieren que M sea compacto . ^[13] Dado que esto no es cierto para R ³ , el teorema de descomposición de Hodge no es estrictamente una generalización del teorema de Helmholtz. Sin embargo, la restricción de compacidad en la formulación habitual de la descomposición de Hodge puede reemplazarse por supuestos de desintegración adecuados en el infinito en las formas diferenciales involucradas, dando una generalización adecuada del teorema de Helmholtz.

Formulación débil

La descomposición de Helmholtz también se puede generalizar reduciendo los supuestos de regularidad (la necesidad de que existan derivadas fuertes). Suponga que Ω es un dominio de Lipschitz acotado y simplemente conectado . Todo campo vectorial cuadrático-integrable u ∈ ( L ² (Ω)) ³ tiene una descomposición ortogonal :

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$

donde φ está en el espacio de Sobolev H ¹ (Ω) de funciones cuadradas integrables en Ω cuyas derivadas parciales definidas en el sentido de distribución son cuadradas integrables, y A ∈ H (curl, Ω) , el espacio de Sobolev de campos vectoriales que constan de cuadrados Campos vectoriales integrables con rizo cuadrado integrable.

Para un campo vectorial ligeramente más suave u ∈ H (curl, Ω) , se mantiene una descomposición similar:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$

donde φ ∈ H ¹ (Ω), v ∈ ( H ¹ (Ω)) ^d .

Campos longitudinales y transversales

Una terminología de uso frecuente en física se refiere al componente libre de ondulaciones de un campo vectorial como componente longitudinal y al componente libre de divergencia como componente transversal . ^[14] Esta terminología proviene de la siguiente construcción: Calcule la transformada tridimensional de Fourier del campo vectorial . Luego descomponga este campo, en cada punto k , en dos componentes, uno de los cuales apunta longitudinalmente, es decir, paralelo a k , el otro apunta en la dirección transversal, es decir, perpendicular a k . Hasta ahora tenemos${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$

${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$

Ahora aplicamos una transformada de Fourier inversa a cada uno de estos componentes. Usando las propiedades de las transformadas de Fourier, obtenemos:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$

Desde y ,${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

nosotros podemos obtener

${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

así que esta es de hecho la descomposición de Helmholtz. ^[15]

Ver también

• Representación de Clebsch para una descomposición relacionada de campos vectoriales
• Darwin Lagrangian para una aplicación
• Descomposición poloidal-toroidal para una mayor descomposición del componente libre de divergencia .${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$
• Descomposición del tensor de vector escalar

Notas

1. Sobre el teorema de Helmholtz en regiones finitas. Por Jean Bladel . Asociación de Investigación de Universidades del Medio Oeste, 1958.
2. Hermann von Helmholtz. Clarendon Press, 1906. Por Leo Koenigsberger . p357
3. Un curso elemental en el cálculo integral. Por Daniel Alexander Murray . American Book Company, 1898. p8.
4. JW Gibbs & Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis vectorial , página 237, enlace de Internet Archive
5. Teoría electromagnética, volumen 1. Por Oliver Heaviside . La imprenta y editorial "The Electrician", limitada, 1893.
6. Elementos del cálculo diferencial. Por Wesley Stoker Barker Woolhouse . Weale, 1854.
7. Un tratado elemental sobre el cálculo integral: basado en el método de tasas o fluxiones. Por William Woolsey Johnson . John Wiley & Sons, 1881.
   Véase también: Método de fluxiones .
8. Cálculo vectorial: con aplicaciones a la física. Por James Byrnie Shaw . D. Van Nostrand, 1922. pág. 205.
   Ver también: Teorema de Green .
9. Tratado sobre el cálculo integral, volumen 2. Por Joseph Edwards . Chelsea Publishing Company, 1922.
10. Ver:
    • H. Helmholtz (1858) "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen" (Sobre integrales de las ecuaciones hidrodinámicas que corresponden a movimientos de vórtice), Journal für die reine und angewandte Mathematik , 55 : 25–55. En la página 38, las componentes de la velocidad del fluido ( u ,  v ,  w ) se expresan en términos del gradiente de un potencial escalar P y la curva de un potencial vectorial ( L ,  M ,  N ).
    • Sin embargo, George Stokes anticipó en gran medida a Helmholtz en su artículo: GG Stokes (presentado: 1849; publicado: 1856) "Sobre la teoría dinámica de la difracción", Transactions of the Cambridge Philosophical Society , vol. 9, parte I, páginas 1–62; consulte las páginas 9–10.
11. "Teorema de Helmholtz" (PDF) . Universidad de Vermont. Archivado desde el original (PDF) el 13 de agosto de 2012 . Consultado el 11 de marzo de 2011 .
12. David J. Griffiths , Introducción a la electrodinámica , Prentice-Hall, 1999, p. 556.
13. Cantarella, Jason; DeTurck, Dennis; Gluck, Herman (2002). "Cálculo vectorial y topología de dominios en 3 espacios". The American Mathematical Monthly . 109 (5): 409–442. doi : 10.2307 / 2695643 . JSTOR 2695643 . 
14. Stewart, AM; Componentes longitudinales y transversales de un campo vectorial, Sri Lanka Journal of Physics 12, 33–42 (2011)
15. Apuntes de conferencias en línea de Robert Littlejohn

Referencias

Referencias generales

• George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , 4ª edición, Academic Press: San Diego (1995) págs. 92–93
• George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos - Edición internacional , sexta edición, Academic Press: San Diego (2005) págs. 95–101
• Rutherford Aris , Vectores, tensores y las ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos , Prentice-Hall (1962), OCLC 299650765 , págs. 70–72 

Referencias para la formulación débil

• Amrouche, C .; Bernardi, C .; Dauge, M .; Girault, V. (1998). "Potenciales vectoriales en dominios no lisos tridimensionales". Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas . 21 : 823–864. Código Bibliográfico : 1998MMAS ... 21..823A . doi : 10.1002 / (sici) 1099-1476 (199806) 21: 9 <823 :: aid-mma976> 3.0.co; 2-b .
• R. Dautray y J.-L. Leones Teoría y aplicaciones espectrales, volumen 3 de Análisis matemático y métodos numéricos para la ciencia y la tecnología. Springer-Verlag, 1990.
• V. Girault y PA Raviart. Métodos de elementos finitos para ecuaciones de Navier-Stokes: teoría y algoritmos. Serie Springer en Matemática Computacional. Springer-Verlag, 1986.

enlaces externos

• Teorema de Helmholtz en MathWorld