En matemáticas , un espacio homogéneo principal , [1] o torsor , para un grupo G es un espacio homogéneo X para G en el que el subgrupo estabilizador de cada punto es trivial. De manera equivalente, un espacio homogéneo principal para un grupo G es un conjunto X no vacío sobre el cual G actúa libre y transitivamente (lo que significa que, para cualquier x , y en X , existe un único g en Gtal que x · g = y , donde · denota la acción (derecha) de G sobre X ). Una definición análoga vale para otras categorías , donde, por ejemplo,
Si G no es abeliano , entonces se debe distinguir entre torsores izquierdo y derecho según si la acción es a la izquierda oa la derecha. En este artículo, usaremos acciones correctas.
Para establecer la definición de manera más explícita, X es un G -torsor o G -espacio homogéneo principal si X no está vacío y está equipado con un mapa (en la categoría apropiada) X × G → X tal que
es un isomorfismo (de conjuntos, o espacios topológicos o..., según corresponda, es decir, en la categoría de que se trate).
Tenga en cuenta que esto significa que X y G son isomorfos (en la categoría en cuestión; no como grupos: consulte lo siguiente). Sin embargo —y este es el punto esencial—, no hay un punto de 'identidad' preferido en X . Es decir, X se parece exactamente a G excepto que se ha olvidado qué punto es la identidad. (Este concepto se usa a menudo en matemáticas como una forma de pasar a un punto de vista más intrínseco, bajo el título 'tirar el origen').
Como X no es un grupo, no podemos multiplicar elementos; podemos, sin embargo, tomar su "cociente". Es decir, existe una función X × X → G que envía ( x , y ) al único elemento g = x \ y ∈ G tal que y = x · g .