Aproximación GW

La aproximación GW (GWA) es una aproximación hecha para calcular la energía propia de un sistema de electrones de muchos cuerpos . ^{[1] [2] [3]} La aproximación es que la expansión de la energía propia Σ en términos de la función G de una sola partícula de Green y la interacción de Coulomb apantallada W (en unidades de )${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle \Sigma =iGW-GWGWG+\cdots }$

se puede truncar después del primer término:

${\displaystyle \Sigma \approx iGW}$

En otras palabras, la energía propia se expande en una serie formal de Taylor en potencias de la interacción filtrada W y el término de orden más bajo se mantiene en la expansión en GWA.

Teoría

Las fórmulas anteriores son de naturaleza esquemática y muestran la idea general de la aproximación. Más precisamente, si etiquetamos una coordenada electrónica con su posición, giro y tiempo y agrupamos los tres en un índice compuesto (los números 1, 2, etc.), tenemos

${\displaystyle \Sigma (1,2)=iG(1,2)W(1^{+},2)-\int d3\int d4\,G(1,3)G(3,4)G(4,2)W(1,4)W(3,2)+...}$

donde el superíndice "+" significa que el índice de tiempo se desplaza hacia adelante en una cantidad infinitesimal. La GWA es entonces

${\displaystyle \Sigma (1,2)\approx iG(1,2)W(1^{+},2)}$

Para poner esto en contexto, si se reemplaza W por la interacción pura de Coulomb (es decir, la interacción habitual 1 / r), se genera la serie perturbativa estándar para la energía propia que se encuentra en la mayoría de los libros de texto de muchos cuerpos. El GWA con W reemplazado por el Coulomb desnudo no produce nada más que el potencial de intercambio Hartree-Fock (energía propia). Por lo tanto, en términos generales, el GWA representa un tipo de energía propia Hartree-Fock filtrada dinámicamente.

En un sistema de estado sólido, la serie de la energía propia en términos de W debería converger mucho más rápido que la serie tradicional en la interacción de Coulomb desnuda. Esto se debe a que el apantallamiento del medio reduce la fuerza efectiva de la interacción de Coulomb: por ejemplo, si uno coloca un electrón en alguna posición de un material y pregunta cuál es el potencial en alguna otra posición del material, el valor es menor que dada por la interacción de Coulomb desnuda (distancia inversa entre los puntos) porque los otros electrones en el medio se polarizan (mueven o distorsionan sus estados electrónicos) para filtrar el campo eléctrico. Por lo tanto, W es una cantidad menor que la interacción de Coulomb desnuda, de modo que una serie en W debería tener mayores esperanzas de converger rápidamente.

Para ver la convergencia más rápida, podemos considerar el ejemplo más simple que involucra el gas de electrones homogéneo o uniforme que se caracteriza por una densidad de electrones o, de manera equivalente, la separación promedio de electrones y electrones o el radio de Wigner-Seitz . (Solo presentamos un argumento de escala y no calcularemos prefactores numéricos que sean unidades de orden). Estos son los pasos clave:${\displaystyle r_{s}}$

• La energía cinética de un electrón se escala como ${\displaystyle 1/r_{s}^{2}}$
• La repulsión promedio electrón-electrón de la interacción de Coulomb desnuda ( no apantallada ) se escala como (simplemente la inversa de la separación típica)${\displaystyle 1/r_{s}}$
• La función dieléctrica de gas de electrones en el modelo de cribado de Thomas-Fermi más simple para un vector de onda es${\displaystyle q}$

${\displaystyle \epsilon (q)=1+\lambda ^{2}/q^{2}}$

¿Dónde está el número de onda de cribado que escala como${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle r_{s}^{-1/2}}$

• Los vectores de onda típicos se escalan como (de nuevo, la separación inversa típica)${\displaystyle q}$${\displaystyle 1/r_{s}}$
• Por tanto, un valor de cribado típico es ${\displaystyle \epsilon \sim 1+r_{s}}$
• La interacción de Coulomb filtrada es ${\displaystyle W(q)=V(q)/\epsilon (q)}$

Por lo tanto, para la interacción de Coulomb desnuda, la relación de Coulomb a la energía cinética es del orden de 2-5 para un metal típico y no es pequeña en absoluto: en otras palabras, la interacción de Coulomb desnuda es bastante fuerte y lo convierte en una pobre expansión perturbativa. Por otro lado, la relación de una energía típica a la cinética se reduce en gran medida por el cribado y es de un orden que se comporta bien y es menor que la unidad incluso para grandes : la interacción del cribado es mucho más débil y es más probable que dé una rápida Serie perturbativa convergente.${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle r_{s}/(1+r_{s})}$${\displaystyle r_{s}}$

Software que implementa la aproximación GW

• ABINIT - método pseudopotencial de onda plana
• BerkeleyGW - método de pseudopotencial de onda plana
• CP2K : método pseudopotencial y de electrones de baja escala basado en gauss
• ELK : método de onda plana aumentada de potencial completo (linealizado) (FP-LAPW)
• FHI-aim - método de orbitales numéricos centrados en átomos
• Fiesta : método gaussiano de electrones
• GAP : un código GW de electrones basado en ondas planas aumentadas, actualmente interconectado con WIEN2k
• Molgw - código base gaussiano pequeño
• PySCF
• Quantum ESPRESSO - Método pseudopotencial de función de Wannier
• Questaal - Método de potencial completo (FP-LMTO)
• SaX - método pseudopotencial de onda plana
• Spex : método de onda plana aumentada de potencial completo (linealizado) (FP-LAPW)
• TURBOMOLE : método gaussiano de electrones
• VASP - método de proyección de onda aumentada (PAW)
• Oeste - GW a gran escala
• Código YAMBO - método pseudopotencial de onda plana

Fuentes

• Las publicaciones clave sobre la aplicación de la aproximación GW
• Imagen de Lars Hedin, inventor de GW
• GW100 : evaluación comparativa del enfoque GW para moléculas.

Referencias

1. Hedin, Lars (1965). "Nuevo método para calcular la función de Green de una partícula con aplicación al problema electrón-gas" . Phys. Rev . 139 (3A): A796 – A823. Código Bibliográfico : 1965PhRv..139..796H . doi : 10.1103 / PhysRev.139.A796 . S2CID  73720887 .
2. Aulbur, Wilfried G .; Jönsson, Lars; Wilkins, John W. (2000). Cálculos de cuasipartículas en sólidos . Física del estado sólido <Nueva York, Ny, 1955 ->: Avances en investigación y aplicaciones . Física del estado sólido. 54 . págs. 1–218. doi : 10.1016 / S0081-1947 (08) 60248-9 . ISBN 9780126077544. ISSN  0081-1947 .
3. Aryasetiawan, F; Gunnarsson, O (1998). "El método GW". Informes sobre avances en física . 61 (3): 237–312. arXiv : cond-mat / 9712013 . Código Bibliográfico : 1998RPPh ... 61..237A . doi : 10.1088 / 0034-4885 / 61/3/002 . ISSN 0034-4885 . S2CID 119000468 .  

Otras lecturas

• Correlación electrónica en estado sólido, Norman H. March (editor), World Scientific Publishing Company
• Aryasetiawan, Ferdi. "Efectos de correlación en sólidos desde primeros principios" (PDF) .