El cribado Thomas-Fermi es un enfoque teórico para calcular los efectos del cribado del campo eléctrico por electrones en un sólido. [1] Es un caso especial de la teoría de Lindhard más general ; en particular, el tramado de Thomas-Fermi es el límite de la fórmula de Lindhard cuando el vector de onda (el recíproco de la escala de longitud de interés) es mucho más pequeño que el vector de onda de Fermi, es decir, el límite de larga distancia. [1] Lleva el nombre de Llewellyn Thomas y Enrico Fermi .
El vector de onda de Thomas-Fermi (en unidades gaussianas-cgs ) es [1]
- ,
donde μ es el potencial químico ( nivel de Fermi ), n es la concentración de electrones ye es la carga elemental .
En muchas circunstancias, incluidos los semiconductores que no están demasiado dopados, n ∝ e μ / k B T , donde k B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. En este caso,
- ,
es decir, 1 / k 0 viene dado por la fórmula familiar para la longitud de Debye . En el extremo opuesto, en el límite de baja temperatura T = 0 , los electrones se comportan como partículas cuánticas ( fermiones ). Esta aproximación es válida para metales a temperatura ambiente, y el vector de onda de cribado de Thomas-Fermi k TF dado en unidades atómicas es
- .
Si restauramos la masa de electrones y la constante de Planck , el vector de onda de tramado en unidades gaussianas es .
Para obtener más detalles y discusión, incluidos los casos unidimensionales y bidimensionales, consulte el artículo sobre la teoría de Lindhard .
Derivación
Relación entre la densidad de electrones y el potencial químico interno
El potencial químico interno (estrechamente relacionado con el nivel de Fermi , ver más abajo) de un sistema de electrones describe cuánta energía se requiere para poner un electrón extra en el sistema, despreciando la energía potencial eléctrica. A medida que aumenta el número de electrones en el sistema (con temperatura y volumen fijos), aumenta el potencial químico interno. Esta consecuencia se debe en gran parte a que los electrones satisfacen el principio de exclusión de Pauli : solo un electrón puede ocupar un nivel de energía y los estados de electrones de menor energía ya están llenos, por lo que los nuevos electrones deben ocupar estados de energía cada vez más altos.
Dado un gas Fermi de densidad , el estado de impulso ocupado más alto (a temperatura cero) se conoce como el impulso de Fermi, .
Entonces la relación requerida se describe por la densidad del número de electrones en función de μ , el potencial químico interno. La forma funcional exacta depende del sistema. Por ejemplo, para un gas Fermi tridimensional , un gas de electrones que no interactúa, a temperatura de cero absoluto, la relación es.
Prueba: incluida la degeneración de espín,
(en este contexto, es decir, cero absoluto, el potencial químico interno se denomina más comúnmente energía de Fermi ).
Como otro ejemplo, para un semiconductor de tipo n con una concentración de electrones de baja a moderada,.
Aproximación local
El supuesto principal en el modelo de Thomas-Fermi es que existe un potencial químico interno en cada punto r que depende únicamente de la concentración de electrones en el mismo punto r . Este comportamiento no puede ser exactamente cierto debido al principio de incertidumbre de Heisenberg . Ningún electrón puede existir en un solo punto; cada uno se distribuye en un paquete de ondas de tamaño ≈ 1 / k F , donde k F es el número de onda de Fermi, es decir, un número de onda típico de los estados en la superficie de Fermi . Por lo tanto, no es posible definir un potencial químico en un solo punto, independientemente de la densidad de electrones en los puntos cercanos.
Sin embargo, el modelo de Thomas-Fermi es probable que sea una aproximación razonablemente precisa tanto tiempo como el potencial no varía mucho sobre longitudes comparables o menores que 1 / k F . Esta longitud suele corresponder a unos pocos átomos en los metales.
Electrones en equilibrio, ecuación no lineal
Finalmente, el modelo de Thomas-Fermi asume que los electrones están en equilibrio, lo que significa que el potencial químico total es el mismo en todos los puntos. (En terminología electroquímica, "el potencial electroquímico de los electrones es el mismo en todos los puntos". En terminología de física de semiconductores, "el nivel de Fermi es plano".) Este equilibrio requiere que las variaciones en el potencial químico interno coincidan con variaciones iguales y opuestas. en la energía potencial eléctrica. Esto da lugar a la "ecuación básica de la teoría no lineal de Thomas-Fermi": [1]
donde n ( μ ) es la función discutida anteriormente (densidad de electrones como función del potencial químico interno), e es la carga elemental , r es la posición yes la carga inducida en r . El potencial electrico se define de tal manera que en los puntos donde el material es de carga neutra (el número de electrones es exactamente igual al número de iones), y de manera similar, μ 0 se define como el potencial químico interno en los puntos donde el material es de carga neutra.
Linealización, función dieléctrica
Si el potencial químico no varía demasiado, la ecuación anterior se puede linealizar:
dónde se evalúa en μ 0 y se trata como una constante.
Esta relación se puede convertir en una función dieléctrica dependiente del vector de onda : [1]
- ( cgs-gaussiano )
dónde
A largas distancias ( q → 0), la constante dieléctrica se acerca al infinito, lo que refleja el hecho de que las cargas se acercan cada vez más a una pantalla perfecta a medida que las observa desde más lejos.
Ejemplo: una carga puntual
Si una carga puntual Q se coloca en r = 0 en un sólido, ¿qué campo producirá, teniendo en cuenta el filtrado de electrones?
Se busca una solución autoconsistente a dos ecuaciones:
- La fórmula de cribado de Thomas-Fermi da la densidad de carga en cada punto r en función del potencial en ese punto.
- La ecuación de Poisson (derivada de la ley de Gauss ) relaciona la segunda derivada del potencial con la densidad de carga.
Para la fórmula no lineal de Thomas-Fermi, resolverlos simultáneamente puede ser difícil y, por lo general, no existe una solución analítica. Sin embargo, la fórmula linealizada tiene una solución simple:
- ( cgs-gaussiano )
Con k 0 = 0 (sin cribado), esto se convierte en la conocida ley de Coulomb .
Tenga en cuenta que puede haber permitividad dieléctrica además del cribado que se analiza aquí; por ejemplo, debido a la polarización de los electrones del núcleo inmóviles. En ese caso, reemplace Q por Q / ε, donde ε es la permitividad relativa debida a estas otras contribuciones.
Fermi gas a temperatura arbitraria
Para un gas Fermi tridimensional (gas de electrones que no interactúan), el vector de onda de cribado se puede expresar en función tanto de la temperatura como de la energía de Fermi . El primer paso es calcular el potencial químico interno, que implica la inversa de una integral de Fermi-Dirac ,
- .
Podemos expresar en términos de temperatura efectiva : , o . El resultado general para es
.
En el límite clásico , encontramos , mientras que en el límite degenerado encontramos
- .
Una forma aproximada simple que recupera ambos límites correctamente es
- ,
para cualquier poder . Un valor que da una concordancia decente con el resultado exacto para todos es , [2] que tiene un error relativo máximo de <2,3%.
En la temperatura efectiva dada anteriormente, la temperatura se usa para construir un modelo clásico efectivo. Sin embargo, esta forma de la temperatura efectiva no recupera correctamente el calor específico y la mayoría de las otras propiedades de los finitos.fluido de electrones incluso para el gas de electrones que no interactúa. Por supuesto, no intenta incluir efectos de interacción electrón-electrón. Una forma simple para una temperatura efectiva que recupera correctamente todas las propiedades funcionales de densidad incluso del gas de electrones que interactúa , incluidas las funciones de distribución de pares en finito, se ha dado utilizando el modelo de mapa clásico de cadenas hiperredesadas ( CHNC ) del fluido de electrones. Es decir
donde la temperatura cuántica Se define como:
donde a = 1,594, b = -0,3160, c = 0,0240. Aquíes el radio de la esfera en unidades atómicas que contienen un electrón. Es decir, si es el número de electrones en una unidad de volumen usando unidades atómicas donde la unidad de longitud es el Bohr, es decir, 5.29177 cm, entonces
Para un gas de electrones denso, por ejemplo, con o menos, las interacciones electrón-electrón se vuelven insignificantes en comparación con la energía de Fermi, entonces, usando un valor de cerca de la unidad, vemos que la temperatura efectiva de CHNC a se aproxima a la forma . También se han proporcionado otras asignaciones para el caso 3D, [3] y fórmulas similares para la temperatura efectiva para el mapa clásico del gas de electrones bidimensionales. [4]
Ver también
Referencias
- ^ a b c d e N. W. Ashcroft y ND Mermin, Física del estado sólido (Thomson Learning, Toronto, 1976)
- ^ Stanton, Liam G .; Murillo, Michael S. (8 de abril de 2016). "Transporte iónico en materia de alta densidad energética" . Revisión E física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 93 (4): 043203. doi : 10.1103 / physreve.93.043203 . ISSN 2470-0045 .
- ^ Yu Liu y Jianzhong Wu, J. Chem. Phys. 141 064115 (2014)
- ^ François Perrot y MWC Dharma-wardana, Phys. Rev. Lett. 87 , 206404 (2001)