Γ-convergencia

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En el cálculo de variaciones , Γ-convergencia ( Gamma-convergencia ) es una noción de convergencia para funcionales . Fue presentado por Ennio de Giorgi .

Sea un espacio topológico y denotemos el conjunto de todas las vecindades del punto . Sea además una secuencia de funcionales . El y el se definen de la siguiente manera:${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (x)}$${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle F_ {n}: X \ a {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ Displaystyle X}$${\ displaystyle \ Gamma {\ text {-límite inferior}}}$${\ Displaystyle \ Gamma {\ text {-límite superior}}}$

${\ Displaystyle F_ {n}}$se dice que -convergen a , si existe un funcional tal que .${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ Gamma {\ text {-}} \ liminf _ {n \ to \ infty} F_ {n} = \ Gamma {\ text {-}} \ limsup _ {n \ to \ infty} F_ {n} = F}$

En los primeros espacios contables , la definición anterior se puede caracterizar en términos de convergencia secuencial de la siguiente manera. Sea un primer espacio contable y una secuencia de funcionales . Entonces se dice que -converge al -límite si se cumplen las dos condiciones siguientes:${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F_ {n}: X \ a {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F_ {n}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle F: X \ a {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

La primera condición significa que proporciona un límite inferior común asintótico para . La segunda condición significa que este límite inferior es óptimo.${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F_ {n}}$

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