En topología , una rama de las matemáticas , un primer espacio contable es un espacio topológico que satisface el "primer axioma de contabilidad ". Específicamente, se dice que un espacio X es el primer contable si cada punto tiene una base de vecindad contable (base local). Es decir, para cada punto x en X existe una secuencia N 1 , N 2 ,… de vecindarios de x tal que para cualquier vecindario N de x existe un número entero i con N i figura en N . Dado que cada vecindario de cualquier punto contiene un vecindario abierto de ese punto, la base del vecindario puede elegirse sin pérdida de generalidad para que consista en vecindarios abiertos.
Ejemplos y contraejemplos
La mayoría de los espacios "cotidianos" en matemáticas son contables en primer lugar. En particular, cada espacio métrico es contable en primer lugar. Para ver esto, observe que el conjunto de bolas abiertas centradas en x con radio 1 / n para números enteros n > 0 forman una base local contable en x .
Un ejemplo de un espacio que no se puede contar primero es la topología de cofinitos en un conjunto incontable (como la línea real ).
Otro contraejemplo es el espacio ordinal ω 1 +1 = [0, ω 1 ] donde ω 1 es el primer número ordinal incontable . El elemento ω 1 es un punto límite del subconjunto [0, ω 1 ) aunque ninguna secuencia de elementos en [0, ω 1 ) tiene el elemento ω 1 como límite. En particular, el punto ω 1 en el espacio ω 1 +1 = [0, ω 1 ] no tiene una base local contable. Sin embargo, dado que ω 1 es el único punto de este tipo, el subespacio ω 1 = [0, ω 1 ) es el primero en contarse.
El espacio del cociente donde los números naturales en la línea real se identifican como un solo punto no es contable primero. [1] Sin embargo, este espacio tiene la propiedad de que para cualquier subconjunto A y cada elemento x en el cierre de A, hay una secuencia en A que converge ax . Un espacio con esta propiedad de secuencia a veces se denomina espacio de Fréchet-Urysohn .
La primera contabilización es estrictamente más débil que la segunda contabilización . Cada segundo espacio contable es el primero, pero cualquier espacio discreto incontable es el primero, pero no el segundo.
Propiedades
Una de las propiedades más importantes de los espacios primeros-contable es que dado un subconjunto A , un punto de x se encuentra en el cierre de A si y sólo si existe una secuencia { x n } en A que converge a x . (En otras palabras, cada primer espacio contable es un espacio de Fréchet-Urysohn ). Esto tiene consecuencias para los límites y la continuidad . En particular, si f es una función en un primer espacio contable, entonces f tiene un límite L en el punto x si y solo si para cada secuencia x n → x , donde x n ≠ x para todo n , tenemos f ( x n ) → L . Además, si f es una función en un primer espacio contable, entonces f es continua si y solo si siempre que x n → x , entonces f ( x n ) → f ( x ).
En los primeros espacios contables, la compacidad secuencial y la compacidad contable son propiedades equivalentes. Sin embargo, existen ejemplos de espacios secuencialmente compactos, primeros contables que no son compactos (estos son necesariamente espacios no métricos). Uno de esos espacios es el espacio ordinal [0, ω 1 ). Cada primer espacio contable se genera de forma compacta .
Cada subespacio de un primer espacio contable es el primero en contarse. Cualquier producto contable de un primer espacio contable es primero contable, aunque no es necesario que los productos incontables lo sean.
Ver también
Referencias
- ^ ( Engelking 1989 , ejemplo 1.6.18)
- "primer axioma de contabilidad" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Serie Sigma en Matemáticas Puras, Vol. 6 (Ed. Revisada y completada). Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.