Procesos estocásticos de Gauss-Markov (el nombre de Carl Friedrich Gauss y Andrei Markov ) son procesos estocásticos que satisfacen los requisitos para ambos procesos Gaussianos y los procesos de Markov . [1] [2] Un proceso estacionario de Gauss-Markov es único [ cita requerida ] hasta el cambio de escala; este proceso también se conoce como proceso de Ornstein-Uhlenbeck .
Propiedades básicas
Todo proceso de Gauss-Markov X ( t ) posee las tres propiedades siguientes: [3]
- Si h ( t ) es una función escalar distinta de cero de t , entonces Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) también es un proceso de Gauss-Markov
- Si f ( t ) es una función escalar no decreciente de t , entonces Z ( t ) = X ( f ( t )) también es un proceso de Gauss-Markov
- Si el proceso es no degenerado y medio cuadrático continuo, entonces existe una función escalar distinta de cero h ( t ) y una función escalar estrictamente creciente f ( t ) tal que X ( t ) = h ( t ) W ( f ( t )), donde W ( t ) es el proceso estándar de Wiener .
La propiedad (3) significa que todo proceso de Gauss-Markov continuo de media cuadrática no degenerada se puede sintetizar a partir del proceso estándar de Wiener (SWP).
Otras propiedades
Un proceso estacionario de Gauss-Markov con varianza y constante de tiempo tiene las siguientes propiedades.
- Autocorrelación exponencial :
- Una función de densidad espectral de potencia (PSD) que tiene la misma forma que la distribución de Cauchy :
- (Tenga en cuenta que la distribución de Cauchy y este espectro difieren según los factores de escala).
- Lo anterior produce la siguiente factorización espectral:
- que es importante en el filtrado de Wiener y otras áreas.
También hay algunas excepciones triviales a todo lo anterior. [ aclaración necesaria ]
Referencias
- ^ CE Rasmussen y CKI Williams (2006). Procesos gaussianos para el aprendizaje automático (PDF) . Prensa del MIT. pag. Apéndice B. ISBN 026218253X.
- ^ Lamon, Pierre (2008). Seguimiento y control de posición 3D para robots todoterreno . Saltador. pp. 93 -95. ISBN 978-3-540-78286-5.
- ^ CB Mehr y JA McFadden. Ciertas propiedades de los procesos gaussianos y sus tiempos de primer paso. Revista de la Royal Statistical Society. Serie B (Metodológica), Vol. 27, núm. 3 (1965), págs. 505-522