En el procesamiento de señales , el filtro Wiener es un filtro que se utiliza para producir una estimación de un proceso aleatorio deseado o objetivo mediante el filtrado lineal invariante en el tiempo ( LTI ) de un proceso ruidoso observado, asumiendo señales estacionarias conocidas y espectros de ruido y ruido aditivo. El filtro de Wiener minimiza el error cuadrático medio entre el proceso aleatorio estimado y el proceso deseado.
Descripción
El objetivo del filtro Wiener es calcular una estimación estadística de una señal desconocida utilizando una señal relacionada como entrada y filtrando esa señal conocida para producir la estimación como salida. Por ejemplo, la señal conocida puede consistir en una señal de interés desconocida que ha sido corrompida por ruido aditivo . El filtro Wiener se puede utilizar para filtrar el ruido de la señal corrupta para proporcionar una estimación de la señal subyacente de interés. El filtro de Wiener se basa en un enfoque estadístico , y en el artículo del estimador del error cuadrático medio mínimo (MMSE) se ofrece una descripción más estadística de la teoría .
Los filtros deterministas típicos están diseñados para una respuesta de frecuencia deseada . Sin embargo, el diseño del filtro Wiener adopta un enfoque diferente. Se supone que uno tiene conocimiento de las propiedades espectrales de la señal original y el ruido, y busca el filtro lineal invariante en el tiempo cuya salida se acercaría lo más posible a la señal original. Los filtros Wiener se caracterizan por lo siguiente: [1]
- Supuesto: la señal y el ruido (aditivo) son procesos estocásticos lineales estacionarios con características espectrales conocidas o autocorrelación y correlación cruzada conocidas
- Requisito: el filtro debe ser físicamente realizable / causal (este requisito puede eliminarse, dando como resultado una solución no causal)
- Criterio de rendimiento: error cuadrático medio mínimo (MMSE)
Este filtro se utiliza con frecuencia en el proceso de deconvolución ; para esta aplicación, consulte Desconvolución de Wiener .
Soluciones de filtrado Wiener
Dejar ser una señal desconocida que debe estimarse a partir de una señal de medición . El problema del filtro de Wiener tiene soluciones para tres casos posibles: uno en el que un filtro no causal es aceptable (que requiere una cantidad infinita de datos pasados y futuros), el caso en el que se desea un filtro causal (usando una cantidad infinita de datos pasados) y el caso de respuesta de impulso finito (FIR) en el que solo se utilizan datos de entrada (es decir, el resultado o la salida no se retroalimenta al filtro como en el caso de IIR). El primer caso es sencillo de resolver pero no es adecuado para aplicaciones en tiempo real. El principal logro de Wiener fue resolver el caso en el que el requisito de causalidad está en vigor; Norman Levinson dio la solución FIR en un apéndice del libro de Wiener.
Solución no causal
dónde son densidades espectrales . Siempre quees óptimo, entonces la ecuación de error cuadrático medio mínimo se reduce a
y la solucion es la transformada de Laplace inversa de dos lados de.
Solución causal
dónde
- Consiste en la parte causal de (es decir, la parte de esta fracción que tiene una solución de tiempo positiva bajo la transformada inversa de Laplace)
- es el componente causal de (es decir, la transformada de Laplace inversa de es distinto de cero solo para )
- es el componente anti-causal de (es decir, la transformada de Laplace inversa de es distinto de cero solo para )
Esta fórmula general es complicada y merece una explicación más detallada. Para anotar la soluciónen un caso específico, se deben seguir estos pasos: [2]
- Comience con el espectro en forma racional y factorizarlo en componentes causales y anticausal: dónde contiene todos los ceros y polos en el semiplano izquierdo (LHP) y contiene los ceros y polos en el semiplano derecho (RHP). Esto se llama factorización de Wiener-Hopf .
- Dividir por y escribe el resultado como una expansión de fracción parcial .
- Seleccione solo aquellos términos en esta expansión que tengan polos en el LHP. Llame a estos términos.
- Dividir por . El resultado es la función de transferencia de filtro deseada.
Filtro Wiener de respuesta de impulso finito para series discretas
El filtro de Wiener de respuesta de impulso finito causal (FIR), en lugar de usar una matriz de datos X y un vector de salida Y, encuentra pesos de derivación óptimos utilizando las estadísticas de las señales de entrada y salida. Completa la matriz de entrada X con estimaciones de la autocorrelación de la señal de entrada (T) y completa el vector de salida Y con estimaciones de la correlación cruzada entre las señales de salida y de entrada (V).
Para derivar los coeficientes del filtro Wiener, considere que la señal w [ n ] se alimenta a un filtro Wiener de orden (número de tomas pasadas) N y con coeficientes. La salida del filtro se denota x [ n ] que viene dada por la expresión
El error residual se denota e [ n ] y se define como e [ n ] = x [ n ] - s [ n ] (ver el diagrama de bloques correspondiente). El filtro de Wiener está diseñado para minimizar el error cuadrático medio ( criterios MMSE ) que se puede establecer de forma concisa de la siguiente manera:
dónde denota el operador de expectativa. En el caso general, los coeficientespuede ser complejo y puede derivarse para el caso en el que w [ n ] y s [ n ] también sean complejos. Con una señal compleja, la matriz a resolver es una matriz Hermitian Toeplitz , en lugar de una matriz Toeplitz simétrica . Para simplificar, a continuación se considera solo el caso en el que todas estas cantidades son reales. El error cuadrático medio (MSE) se puede reescribir como:
Para encontrar el vector que minimiza la expresión anterior, calcule su derivada con respecto a cada
Suponiendo que w [ n ] y s [ n ] son cada uno estacionario y conjuntamente estacionario, las secuencias y conocida respectivamente como la autocorrelación de w [ n ] y la correlación cruzada entre w [ n ] y s [ n ] se pueden definir de la siguiente manera:
Por lo tanto, la derivada del MSE puede reescribirse como:
Tenga en cuenta que de verdad , la autocorrelación es simétrica:
que se puede reescribir (usando la propiedad simétrica anterior) en forma de matriz
Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de Wiener-Hopf . La matriz T que aparece en la ecuación es una matriz de Toeplitz simétrica . En condiciones adecuadas en, se sabe que estas matrices son definidas positivas y, por lo tanto, no singulares, lo que produce una solución única para la determinación del vector de coeficientes de filtro de Wiener, . Además, existe un algoritmo eficiente para resolver tales ecuaciones de Wiener-Hopf conocido como algoritmo de Levinson-Durbin , por lo que no se requiere una inversión explícita de T.
En algunos artículos, la función de correlación cruzada se define de manera opuesta:
Cualquiera que sea la notación que se utilice, tenga en cuenta que de verdad :
Relación con el filtro de mínimos cuadrados
La realización del filtro de Wiener causal se parece mucho a la solución a la estimación de mínimos cuadrados , excepto en el dominio de procesamiento de señales. La solución de mínimos cuadrados, para la matriz de entrada y vector de salida es
El filtro FIR Wiener está relacionado con el filtro de mínimos cuadrados medios , pero minimizar el criterio de error de este último no depende de correlaciones cruzadas o autocorrelaciones. Su solución converge a la solución de filtrado Wiener.
Señales complejas
Para señales complejas, la derivación del filtro de Wiener complejo se realiza minimizando =. Esto implica calcular derivadas parciales con respecto a las partes real e imaginaria dey exigir que ambos sean cero.
Las ecuaciones de Wiener-Hopf resultantes son:
que se puede reescribir en forma de matriz:
Tenga en cuenta aquí que:
El vector de coeficiente de Wiener se calcula como:
Aplicaciones
El filtro Wiener tiene una variedad de aplicaciones en el procesamiento de señales, procesamiento de imágenes, sistemas de control y comunicaciones digitales. Estas aplicaciones generalmente se dividen en una de cuatro categorías principales:
Por ejemplo, el filtro Wiener se puede utilizar en el procesamiento de imágenes para eliminar el ruido de una imagen. Por ejemplo, usando la función Mathematica: WienerFilter[image,2]
en la primera imagen a la derecha, produce la imagen filtrada debajo de ella.
Se utiliza comúnmente para eliminar el ruido de las señales de audio, especialmente el habla, como preprocesador antes del reconocimiento de voz .
Historia
El filtro fue propuesto por Norbert Wiener durante la década de 1940 y publicado en 1949. [4] El equivalente en tiempo discreto del trabajo de Wiener fue derivado de forma independiente por Andrey Kolmogorov y publicado en 1941. Por lo tanto, la teoría a menudo se denomina teoría de filtrado de Wiener-Kolmogorov ( cf. Kriging ). El filtro de Wiener fue el primer filtro diseñado estadísticamente que se propuso y posteriormente dio lugar a muchos otros, incluido el filtro de Kalman .
Ver también
- Norbert Wiener
- Eberhard Hopf
- Deconvolución de Wiener
- filtro de mínimos cuadrados medios
- similitudes entre Wiener y LMS
- predicción lineal
- Estimador MMSE
- Filtro de Kalman
- filtro de Wiener generalizado
- filtro coincidente
- Teoría del campo de información
Referencias
- ^ Brown, Robert Grover; Hwang, Patrick YC (1996). Introducción a las señales aleatorias y el filtrado de Kalman aplicado (3 ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-12839-7.
- ^ Welch, Lloyd R. "Teoría de Wiener-Hopf" (PDF) .[ enlace muerto ]
- ^ [1] . "D. Boulfelfel, RM Rangayyan, LJ Hahn y R. Kloiber, 1994," Restauración tridimensional de imágenes de tomografía computarizada por emisión de fotón único ", IEEE Transactions on Nuclear Science, 41 (5): 1746-1754, octubre de 1994. ".
- ^ Wiener, Norbert (1949). Extrapolación, interpolación y suavizado de series de tiempo estacionarias . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-262-73005-1.
- Thomas Kailath , Ali H. Sayed y Babak Hassibi , Estimación lineal, Prentice-Hall, Nueva Jersey, 2000, ISBN 978-0-13-022464-4 .
- Wiener N: La interpolación, extrapolación y suavizado de series de tiempo estacionarias ', Informe de los servicios 19, Proyecto de investigación DIC-6037 MIT, febrero de 1942
- Kolmogorov AN: 'Secuencias estacionarias en el espacio de Hilbert', (en ruso) Bull. Moscú Univ. 1941 vol 2 no 6 1-40. Traducción al inglés en Kailath T. (ed.) Estimación de mínimos cuadrados lineales Dowden, Hutchinson & Ross 1977
enlaces externos
- Mathematica Filtro de Wiener función