Cuadratura de Gauss-Jacobi

En el análisis numérico , la cuadratura de Gauss-Jacobi (llamada así por Carl Friedrich Gauss y Carl Gustav Jacob Jacobi ) es un método de cuadratura numérica basado en la cuadratura de Gauss . La cuadratura de Gauss-Jacobi se puede utilizar para aproximar integrales de la forma

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\,dx}$

donde f es una función suave en [−1, 1] y α , β > −1 . El intervalo [−1, 1] se puede reemplazar por cualquier otro intervalo mediante una transformación lineal. Por tanto, la cuadratura de Gauss-Jacobi se puede utilizar para aproximar integrales con singularidades en los puntos finales. La cuadratura de Gauss-Legendre es un caso especial de la cuadratura de Gauss-Jacobi con α = β = 0 . De manera similar, la cuadratura de Chebyshev-Gauss del primer (segundo) tipo surge cuando se toma α = β = −0,5 (+0,5) . De manera más general, el caso especial α = βconvierte los polinomios de Jacobi en polinomios de Gegenbauer , en cuyo caso la técnica a veces se denomina cuadratura de Gauss-Gegenbauer .

La cuadratura de Gauss-Jacobi usa ω ( x ) = (1 - x ) ^α (1 + x ) ^β como función de ponderación. La secuencia correspondiente de polinomios ortogonales consta de polinomios de Jacobi . Por tanto, la regla de cuadratura de Gauss-Jacobi en n puntos tiene la forma

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\,dx\approx \lambda _{1}f(x_{1})+\lambda _{2}f(x_{2})+\ldots +\lambda _{n}f(x_{n}),}$

donde x ₁ ,…, x _n son las raíces del polinomio de Jacobi de grado n . Los pesos λ ₁ ,…, λ _n vienen dados por la fórmula

${\displaystyle \lambda _{i}=-{\frac {2n+\alpha +\beta +2}{n+\alpha +\beta +1}}\,{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)(n+1)!}}\,{\frac {2^{\alpha +\beta }}{P_{n}^{(\alpha ,\beta )\,\prime }(x_{i})P_{n+1}^{(\alpha ,\beta )}(x_{i})}},}$

donde Γ denota la función Gamma y P^{( α , β )}
_n( x ) el polinomio de Jacobi de grado n .

El término de error (diferencia entre el valor aproximado y el exacto) es:

${\displaystyle E_{n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)}{(2n+\alpha +\beta +1)[\Gamma (2n+\alpha +\beta +1)]^{2}}}{\frac {2^{2+\alpha +\beta +1}}{(2n)!}}f^{(2n)}(\xi ),}$

donde . ${\displaystyle -1<\xi <1}$

Referencias

• Rabinowitz, Philip (2001), "§4.8-1: Cuadratura de Gauss-Jacobi", A First Course in Numerical Analysis (2ª ed.), Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41454-6.

enlaces externos

• Regla de Jacobi : software libre (Matlab, C ++ y Fortran) para evaluar integrales mediante las reglas de cuadratura de Gauss-Jacobi.
• Regla de Gegenbauer : software libre (Matlab, C ++ y Fortran) para la cuadratura de Gauss-Gegenbauer