En matemáticas , los polinomios de Jacobi (ocasionalmente llamados polinomios hipergeométricos ) P( α , β )
n( x ) son una clase de polinomios ortogonales clásicos . Son ortogonales con respecto al peso (1 - x ) α (1 + x ) β en el intervalo [−1, 1] . Los polinomios de Gegenbauer , y por tanto también los polinomios de Legendre , Zernike y Chebyshev , son casos especiales de los polinomios de Jacobi. [1]
Los polinomios de Jacobi fueron introducidos por Carl Gustav Jacob Jacobi .
A través de la función hipergeométrica
Los polinomios de Jacobi se definen mediante la función hipergeométrica de la siguiente manera: [2]
dónde es el símbolo de Pochhammer (para el factorial ascendente). En este caso, la serie para la función hipergeométrica es finita, por lo que se obtiene la siguiente expresión equivalente:
Fórmula de Rodrigues
Una definición equivalente viene dada por la fórmula de Rodrigues : [1] [3]
Si , luego se reduce a los polinomios de Legendre :
Expresión alternativa para un argumento real
Para x real, el polinomio de Jacobi se puede escribir alternativamente como
y para el entero n
donde Γ ( z ) es la función Gamma .
En el caso especial de que las cuatro cantidades n , n + α , n + β y n + α + β sean números enteros no negativos, el polinomio de Jacobi se puede escribir como
| | ( 1 ) |
La suma se extiende a todos los valores enteros de s para los cuales los argumentos de los factoriales no son negativos.
Casos especiales
Ortogonalidad
Los polinomios de Jacobi satisfacen la condición de ortogonalidad
Según lo definido, no tienen norma unitaria con respecto al peso. Esto se puede corregir dividiendo por la raíz cuadrada del lado derecho de la ecuación anterior, cuando.
Aunque no produce una base ortonormal, a veces se prefiere una normalización alternativa debido a su simplicidad:
Relación de simetría
Los polinomios tienen la relación de simetría
por lo tanto, el otro valor terminal es
Derivados
La k- ésima derivada de la expresión explícita conduce a
Ecuación diferencial
El polinomio de Jacobi P( α , β )
nes una solución de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden [1]
Relaciones de recurrencia
La relación de recurrencia para los polinomios de Jacobi de α , β fijos es: [1]
para n = 2, 3, ....
Dado que los polinomios de Jacobi se pueden describir en términos de la función hipergeométrica, las recurrencias de la función hipergeométrica dan recurrencias equivalentes de los polinomios de Jacobi. En particular, las relaciones contiguas de Gauss corresponden a las identidades
Función generadora
La función generadora de los polinomios de Jacobi viene dada por
dónde
y la rama de la raíz cuadrada se elige de modo que R ( z , 0) = 1. [1]
Para x en el interior de [−1, 1] , las asintóticas de P( α , β )
npara n grande viene dada por la fórmula de Darboux [1]
dónde
y el término " O " es uniforme en el intervalo [ε, π -ε] para todo ε> 0.
La asintótica de los polinomios de Jacobi cerca de los puntos ± 1 viene dada por la fórmula de Mehler-Heine
donde los límites son uniformes para z en un dominio acotado .
La asintótica fuera de [−1, 1] es menos explícita.
Matriz D de Wigner
La expresión ( 1 ) permite la expresión de la matriz d de Wigner d j m ', m (φ) (para 0 ≤ φ ≤ 4 π ) en términos de polinomios de Jacobi: [4]