Cuadratura de Gauss-Laguerre

En análisis numérico, la cuadratura de Gauss-Laguerre (llamada así por Carl Friedrich Gauss y Edmond Laguerre ) es una extensión del método de cuadratura de Gauss para aproximar el valor de integrales del siguiente tipo:

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x} f (x) \, dx.}

En este caso

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x} f (x) \, dx \ approx \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ { I})}

donde x _i es la i -ésima raíz del polinomio de Laguerre L _n ( x ) y el peso w _i está dado por ^[1]

{\ Displaystyle w_ {i} = {\ frac {x_ {i}} {\ left (n + 1 \ right) ^ {2} \ left [L_ {n + 1} \ left (x_ {i} \ right) \ right] ^ {2}}}.}

El siguiente código Python con la biblioteca sympy permitirá el cálculo de los valores de ${\ Displaystyle x_ {i}}$ y ${\ Displaystyle w_ {i}}$ a 20 dígitos de precisión:

de  sympy  import  *def  raíces_peso_lag ( n ):  x  =  Símbolo ( 'x' )  raíces  =  Poli ( laguerre ( n ,  x )) . all_roots ()  x_i  =  [ rt . evalf ( 20 )  para  rt  en  raíces ]  w_i  =  [( rt / (( n + 1 ) * laguerre ( n + 1 , rt )) ** 2 ) . evalf ( 20 )  para  rt  en  raíces ]  return  x_i ,  w_iimprimir ( lag_weights_roots ( 5 ))

Para funciones más generales

Para integrar la función ${\ Displaystyle f}$ aplicamos la siguiente transformación

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) e ^ {x} e ^ {- x} \, dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} g (x) e ^ {- x} \, dx}

donde ${\ Displaystyle g \ left (x \ right): = e ^ {x} f \ left (x \ right)}$ . Para la última integral se usa la cuadratura de Gauss-Laguerre. Tenga en cuenta que, si bien este enfoque funciona desde una perspectiva analítica, no siempre es numéricamente estable.

Cuadratura generalizada de Gauss-Laguerre

De manera más general, también se pueden considerar integrandos que tienen un ${\ displaystyle x ^ {\ alpha}}$ singularidad de la ley de potencias en x = 0, para algún número real ${\ Displaystyle \ alpha> -1}$ , dando lugar a integrales de la forma: