El método pseudoespectral de Gauss (GPM) , uno de los muchos temas que llevan el nombre de Carl Friedrich Gauss , es un método de transcripción directa para discretizar un problema de control óptimo continuo en un programa no lineal (NLP). El método pseudoespectral de Gauss difiere de varios otros métodos pseudoespectrales en que la dinámica no está colocada en ningún punto final del intervalo de tiempo. Esta colocación, junto con la aproximación adecuada a la costate , conduce a un conjunto de KKTcondiciones que son idénticas a la forma discretizada de las condiciones de optimalidad de primer orden. Esta equivalencia entre las condiciones de KKT y las condiciones de optimalidad discretizadas de primer orden conduce a una estimación de costa precisa utilizando los multiplicadores de KKT del NLP.
Descripción
El método se basa en la teoría de la colocación ortogonal donde los puntos de colocación (es decir, los puntos en los que se discretiza el problema de control óptimo) son los puntos de Legendre- Gauss (LG). El enfoque utilizado en el GPM es utilizar una aproximación polinomial de Lagrange para el estado que incluye coeficientes para el estado inicial más los valores del estado en los puntos N LG. De manera algo opuesta, la aproximación de la costate (adjunto) se realiza utilizando una base de polinomios de Lagrange que incluye el valor final de la costate más la costate en los puntos N LG. Estas dos aproximaciones juntas conducen a la capacidad de mapear los multiplicadores KKT del programa no lineal (NLP) a las costas del problema de control óptimo en los puntos N LG MÁS los puntos límite. El teorema de mapeo de costas que surge del GPM se ha descrito en varias referencias, incluidas dos tesis de doctorado [1] [2] y artículos de revistas que incluyen la teoría junto con aplicaciones [3] [4] [5]
Fondo
Los métodos pseudoespectrales, también conocidos como métodos de colocación ortogonal , en control óptimo surgieron de métodos espectrales que se usaban tradicionalmente para resolver problemas de dinámica de fluidos. [6] [7] El trabajo fundamental en métodos de colocación ortogonal para problemas de control óptimos se remonta a 1979 con el trabajo de Reddien [8] y algunos de los primeros trabajos que utilizan métodos de colocación ortogonal en ingeniería se pueden encontrar en la literatura de ingeniería química. [9] Trabajos más recientes en ingeniería química y aeroespacial han utilizado la colocación en los puntos Legendre-Gauss-Radau (LGR). [10] [11] [12] [13] Dentro de la comunidad de ingeniería aeroespacial, se han desarrollado varios métodos pseudoespectrales bien conocidos para resolver problemas de control óptimo, como el método pseudoespectral de Chebyshev (CPM) [14] [15] el pseudoespectral Legendre método (LPM) [16] y el método pseudoespectral de Gauss (GPM). [17] El CPM utiliza polinomios de Chebyshev para aproximar el estado y el control, y realiza una colocación ortogonal en los puntos Chebyshev- Gauss - Lobatto (CGL). Se desarrolló una mejora del método pseudoespectral de Chebyshev que utiliza una cuadratura de Clenshaw-Curtis. [18] El LPM utiliza polinomios de Lagrange para las aproximaciones y puntos de Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) para la colocación ortogonal. También se desarrolló un procedimiento de estimación de costas para el método pseudoespectral de Legendre . [19] Un trabajo reciente muestra varias variantes del LPM estándar. El método pseudoespectral de Jacobi [20] es un enfoque pseudoespectral más general que utiliza polinomios de Jacobi para encontrar los puntos de colocación, de los cuales los polinomios de Legendre son un subconjunto. Otra variante, denominada método Hermite-LGL [21], utiliza polinomios cúbicos por partes en lugar de polinomios de Lagrange, y se coloca en un subconjunto de los puntos LGL.
Ver también
- Software APMonitor para optimización dinámica
- PROPT - Software de control óptimo de MATLAB (Gauss y Chebyshev) con más de 110 ejemplos.
- GPOPS-II : Software de control óptimo pseudoespectral general (artículo de revista revisado por pares que implementa métodos de colocación en cuadratura gaussiana de orden variable).
- JModelica.org (plataforma de código abierto basada en Modelica para optimización dinámica)
Referencias y notas
- ^ Benson, DA, una transcripción pseudoespectral de Gauss para un control óptimo , Ph.D. Tesis, Departamento de Aeronáutica y Astronáutica, MIT, noviembre de 2004,
- ^ Huntington, GT, Avance y análisis de una transcripción pseudoespectral de Gauss para un control óptimo , Ph.D. Tesis, Departamento de Aeronáutica y Astronáutica, MIT, mayo de 2007
- ^ Benson, DA, Huntington, GT, Thorvaldsen, TP y Rao, AV, "Optimización de trayectoria directa y estimación de costa a través de un método de colocación ortogonal", Revista de orientación, control y dinámica . Vol. 29, núm. 6, noviembre-diciembre de 2006, págs. 1435-1440.,
- ^ Huntington, GT, Benson, DA y Rao, AV, "Configuración óptima de formaciones de naves espaciales tetraédricas", The Journal of The Astronautical Sciences . Vol. 55, núm. 2, marzo-abril de 2007, págs. 141-169.
- ^ Huntington, GT y Rao, AV, "Reconfiguración óptima de formaciones de naves espaciales mediante el método pseudoespectral de Gauss", Revista de orientación, control y dinámica . Vol. 31, núm. 3, marzo-abril de 2008, págs. 689–698.
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