Control óptimo pseudoespectral
El control óptimo pseudoespectral es un método teórico-computacional conjunto para resolver problemas de control óptimo . [1] [2] [3] [4] Combina la teoría pseudoespectral (PS) con la teoría del control óptimo para producir la teoría del control óptimo PS. La teoría de control óptimo de PS se ha utilizado en sistemas terrestres y de vuelo [1] en aplicaciones militares e industriales. [5]Las técnicas se han utilizado ampliamente para resolver una amplia gama de problemas, como los que surgen en la generación de trayectorias de vehículos aéreos no tripulados, guía de misiles, control de brazos robóticos, amortiguación de vibraciones, guía lunar, control magnético, oscilación y estabilización de un péndulo invertido, órbita. transferencias, control de libración de amarre, guía de ascenso y control cuántico. [5] [6]
Hay una gran cantidad de ideas que caen bajo el estandarte general del control pseudoespectral óptimo. [7] Ejemplos de estos son el método pseudospectral Legendre , el método pseudospectral Chebyshev , el método de Gauss pseudospectral , el método de Ross-pseudospectral Fahroo , el método pseudospectral Bellman , el método pseudospectral plana y muchos otros. [1] [3] Resolver un problema de control óptimo requiere la aproximación de tres tipos de objetos matemáticos: la integración en la función de costo, la ecuación diferencial del sistema de control y las restricciones de control de estado. [3]Un método de aproximación ideal debería ser eficaz para las tres tareas de aproximación. Un método que sea eficiente para uno de ellos, por ejemplo, un solucionador de ODE eficiente, puede no ser un método eficiente para los otros dos objetos. Estos requisitos hacen que los métodos de PS sean ideales porque son eficientes para la aproximación de los tres objetos matemáticos. [8] [9] [10] En un método pseudoespectral, las funciones continuas se aproximan a un conjunto de nodos en cuadratura cuidadosamente seleccionados . Los nodos en cuadratura están determinados por la base polinomial ortogonal correspondiente utilizada para la aproximación. En PS control óptimo, polinomios de Legendre y Chebyshevson de uso común. Matemáticamente, los nodos en cuadratura pueden lograr una alta precisión con una pequeña cantidad de puntos. Por ejemplo, el polinomio de interpolación de cualquier función suave (C ) en los nodos de Legendre-Gauss-Lobatto converge en el sentido L 2 a la denominada tasa espectral, más rápido que cualquier tasa polinomial. [9]
Un método pseudoespectral básico para un control óptimo se basa en el principio de mapeo de covector . [2] Otras técnicas de control pseudoespectral óptimo, como el método pseudoespectral de Bellman , se basan en la agrupación de nodos en el momento inicial para producir controles óptimos. Los agrupamientos de nodos ocurren en todos los puntos gaussianos. [8] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]
Además, su estructura puede ser altamente explotada para hacerlos más eficientes computacionalmente, ya que se han desarrollado métodos de cálculo de escala ad-hoc [21] y jacobianos, que involucran la teoría de números duales [22] . [19]
En los métodos pseudoespectrales, la integración se aproxima mediante reglas de cuadratura, que proporcionan el mejor resultado de integración numérica . Por ejemplo, con solo N nodos, una integración en cuadratura de Legendre-Gauss logra un error cero para cualquier integrando polinomial de grado menor o igual a . En la discretización PS de la ODE involucrada en problemas de control óptimo, se usa una matriz de diferenciación simple pero altamente precisa para las derivadas. Debido a que un método de PS refuerza el sistema en los nodos seleccionados, las restricciones de control de estado se pueden discretizar directamente. Todas estas ventajas matemáticas hacen de los métodos pseudoespectrales una herramienta de discretización sencilla para problemas de control óptimo continuo. [ cita requerida ]
