Desigualdad de correlación gaussiana
La desigualdad de correlación gaussiana ( GCI ), anteriormente conocida como conjetura de correlación gaussiana ( GCC ), es un teorema matemático en los campos de la estadística matemática y la geometría convexa .
Sea una medida de probabilidad gaussiana de n dimensiones , es decir, una distribución normal multivariada , centrada en el origen. Entonces, para todos los conjuntos convexos que son simétricos con respecto al origen ,
Como ejemplo simple para n = 2, se puede pensar en dardos lanzados a un tablero, con sus puntos de aterrizaje en el plano distribuidos de acuerdo con una distribución normal de 2 variables centrada en el origen. (Esta es una suposición razonable para cualquier jugador de dardos dado, ya que diferentes jugadores se describen mediante diferentes distribuciones normales). Si ahora consideramos un círculo y un rectángulo en el plano, ambos centrados en el origen, entonces la proporción de los dardos que caen en la intersección de ambas formas no es menor que el producto de las proporciones de los dardos que caen en cada forma. Esto también se puede formular en términos de probabilidades condicionales : si se le informa que su último dardo dio en el rectángulo, entonces esta información aumentará su estimación de la probabilidad de que el dardo haya dado en el círculo.
En 1955 se conjeturó un caso especial de desigualdad; [1] Olive Jean Dunn dio un mayor desarrollo en 1958. [2] [3] El caso general se planteó en 1972, también como una conjetura. [4] El caso de dimensión n =2 fue probado en 1977 [5] y ciertos casos especiales de dimensión superior también se han probado en años posteriores. [6]
El caso general de la desigualdad permaneció abierto hasta 2014, cuando Thomas Royen , un estadístico alemán jubilado, lo demostró utilizando herramientas relativamente elementales. [7] De hecho, Royen generalizó la conjetura y la demostró para distribuciones gamma multivariadas . La prueba no llamó la atención cuando se publicó en 2014, debido al relativo anonimato de Royen y al hecho de que la prueba se publicó en una revista depredadora . [2] [8] Otra razón fue una historia de pruebas falsas (por otros) y muchos intentos fallidos de probar la conjetura, lo que provocó escepticismo entre los matemáticos en el campo. [2]
La conjetura y su solución llamaron la atención del público en 2017, cuando otros matemáticos describieron la prueba de Royen en una publicación importante [9] y los medios populares informaron sobre la historia. [2] [10] [11]