En matemáticas , una serie hipergeométrica generalizada es una serie de potencias en la que la relación de coeficientes sucesivos indexados por n es una función racional de n . La serie, si es convergente, define una función hipergeométrica generalizada , que luego puede definirse en un dominio más amplio del argumento por continuación analítica . La serie hipergeométrica generalizada a veces se denomina simplemente serie hipergeométrica, aunque este término también se refiere a veces a la serie hipergeométrica gaussiana . Las funciones hipergeométricas generalizadas incluyen la (gaussiana)la función hipergeométrica y la función hipergeométrica confluente como casos especiales, que a su vez tienen muchas funciones especiales particulares como casos especiales, como las funciones elementales , las funciones de Bessel y los polinomios ortogonales clásicos .
Es habitual factorizar el término principal, por lo que se supone que β 0 es 1. Los polinomios se pueden factorizar en factores lineales de la forma ( a j + n ) y ( b k + n ) respectivamente, donde a j y b k son números complejos .
Por razones históricas, se supone que (1 + n ) es un factor de B. Si este no es ya el caso, tanto A como B pueden multiplicarse por este factor; el factor se cancela por lo que los términos no cambian y no hay pérdida de generalidad.
(Tenga en cuenta que este uso del símbolo de Pochhammer no es estándar; sin embargo, es el uso estándar en este contexto).
Cuando todos los términos de la serie están definidos y tiene un radio de convergencia distinto de cero , entonces la serie define una función analítica . Tal función, y sus continuaciones analíticas , se llama función hipergeométrica .
El caso cuando el radio de convergencia es 0 produce muchas series interesantes en matemáticas, por ejemplo, la función gamma incompleta tiene la expansión asintótica