En matemáticas , las funciones gamma incompletas superior e inferior son tipos de funciones especiales que surgen como soluciones a varios problemas matemáticos, como ciertas integrales .
Sus respectivos nombres provienen de sus definiciones integrales, que se definen de manera similar a la función gamma pero con límites integrales diferentes o "incompletos". La función gamma se define como una integral de cero a infinito. Esto contrasta con la función gamma incompleta inferior, que se define como una integral de cero a un límite superior variable. De manera similar, la función gamma incompleta superior se define como una integral desde un límite inferior variable hasta el infinito.
Definición
La función gamma incompleta superior se define como:
mientras que la función gamma incompleta inferior se define como:
En ambos casos, s es un parámetro complejo, de modo que la parte real de s es positiva.
Propiedades
Por integración por partes encontramos las relaciones de recurrencia
y
Dado que la función gamma ordinaria se define como
tenemos
y
Continuación a valores complejos
La gamma incompleta inferior y la función gamma incompleta superior, como se ha definido anteriormente para real positivo s y x , se pueden desarrollar en funciones holomorfas , con respecto tanto a x y s , que se define por casi todas las combinaciones de complejo x y s . [1] El análisis complejo muestra cómo las propiedades de las funciones gamma incompletas reales se extienden a sus contrapartes holomórficas.
Función gamma incompleta inferior
Extensión holomorfa
La aplicación repetida de la relación de recurrencia para la función gamma incompleta inferior conduce a la expansión de la serie de potencias : [2]
Dado el rápido crecimiento en valor absoluto de Γ ( z + k ) cuando k → ∞, y el hecho de que el recíproco de Γ ( z ) es una función completa , los coeficientes en la suma más a la derecha están bien definidos y localmente la suma converge uniformemente para todos los complejos s y x . Por un teorema de Weierstraß, [2] la función limitante, a veces denotada como,
es entero con respecto a z (para s fijo ) y s (para z fijo ) [4] , y, por tanto, holomorfo en ℂ × ℂ según el teorema de Hartog [5] . Por lo tanto, la siguiente descomposición
- [6] ,
extiende el real más bajo función gamma incompleta como función holomorfa , tanto conjunta como por separado en z y s . Se sigue de las propiedades dey la función Γ , que los dos primeros factores capturan las singularidades de(en z = 0 os un entero no positivo), mientras que el último factor contribuye a sus ceros.
Multi-valor
El logaritmo complejo log z = log | z | + I arg z se determina hasta un múltiplo de solamente 2πi, que la hace de varios valores . Las funciones que involucran el logaritmo complejo generalmente heredan esta propiedad. Entre estos se encuentran la potencia compleja y, dado que z s aparece en su descomposición, también la función γ.
La indeterminación de las funciones multivalor presenta complicaciones, ya que debe establecerse cómo seleccionar un valor. Las estrategias para manejar esto son:
- (la forma más general) reemplaza el dominio ℂ de funciones de valores múltiples por una variedad adecuada en ℂ × ℂ llamada superficie de Riemann . Si bien esto elimina la multiplicidad de valores, es necesario conocer la teoría que lo sustenta [7] ;
- restringir el dominio de tal manera que una función de varios valores se descomponga en ramas separadas de un solo valor , que se pueden manejar individualmente.
El siguiente conjunto de reglas se puede utilizar para interpretar correctamente las fórmulas de esta sección. Si no se menciona lo contrario, se asume lo siguiente:
Sectores
Los sectores en ℂ que tienen su vértice en z = 0 a menudo resultan ser dominios apropiados para expresiones complejas. Un sector D consta de todo el complejo z que cumple con z ≠ 0 y α - δ
Sucursales
En particular, existe un logaritmo holomórfico y de valor único en cualquier sector D que tenga su parte imaginaria unida al rango ( α - δ , α + δ ). Sobre la base de tal restringido logaritmo, z s y las funciones gamma incompletas, a su vez colapso a funciones de valores individuales, holomorfas en D (o ℂ × D ), llamado ramas de sus homólogos de valores múltiples en D. Adición de un múltiplo de 2π a α produce un conjunto diferente de ramas correlacionadas en el mismo conjunto D . Sin embargo, en cualquier contexto dado aquí, se supone que α es fijo y todas las ramas involucradas están asociadas a él. Si | α | < δ , las ramas se llaman principales , porque son iguales a sus análogos reales en el eje real positivo. Nota: En muchas aplicaciones y textos, las fórmulas son válidas solo para las ramas principales.
Relación entre ramas
Los valores de diferentes ramas tanto de la función de potencia compleja como de la función gamma incompleta inferior se pueden derivar entre sí mediante la multiplicación de [8] , para k un entero adecuado.
Comportamiento cerca del punto de ramificación
La descomposición anterior muestra además que γ se comporta cerca de z = 0 asintóticamente como:
Para real positivo x , y y s , x y / y → 0, cuando ( x , y ) → (0, s ). Esto parece justificar establecer γ (s, 0) = 0 para s reales > 0. Sin embargo, las cosas son algo diferentes en el ámbito complejo. Solo si (a) la parte real de s es positiva, y (b) los valores u v se toman de un conjunto finito de ramas, se garantiza que converjan a cero cuando ( u , v ) → (0, s ), y también γ ( u , v ). En una sola rama de γ ( b ) se cumple naturalmente, por lo que γ ( s , 0) = 0 para s con parte real positiva es un límite continuo . También tenga en cuenta que tal continuación no es de ninguna manera analítica .
Relaciones algebraicas
Todas las relaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales observadas por γ ( s , z ) real también son válidas para su contraparte holomórfica. Esto es una consecuencia del teorema de la identidad [9] , que establece que las ecuaciones entre funciones holomórficas válidas en un intervalo real se mantienen en todas partes. En particular, la relación de recurrencia [10] y ∂γ ( s , z ) / ∂z = z s −1 e - z [11] se conservan en las ramas correspondientes.
Representación integral
La última relación nos dice que, para s fijo , γ es una primitiva o antiderivada de la función holomórfica z s −1 e - z . En consecuencia, [12] , para cualquier complejo u , v ≠ 0,
se mantiene, siempre que el camino de la integración esté completamente contenido en el dominio de una rama del integrando. Si, además, la parte real de s es positiva, entonces se aplica el límite γ ( s , u ) → 0 para u → 0, llegando finalmente a la definición integral compleja de γ
Cualquier camino de integración que contenga 0 solo al principio, de lo contrario restringido al dominio de una rama del integrando, es válido aquí, por ejemplo, la línea recta que conecta 0 y z .
Límite para z → + ∞
Valores reales
Dada la representación integral de una rama principal de γ, la siguiente ecuación es válida para todos los reales positivos, x: [14]
s complejo
Este resultado se extiende a los complejos s . Suponga primero 1 ≤ Re (s) ≤ 2 y 1 . Luego
dónde
se ha utilizado en el medio. Dado que la integral final se vuelve arbitrariamente pequeña si solo a es lo suficientemente grande, γ (s, x) converge uniformemente para x → ∞ en la tira 1 ≤ Re (s) ≤ 2 hacia una función holomórfica, [3] que debe ser Γ ( s) debido al teorema de la identidad [16] . Tomando el límite en la relación de recurrencia γ ( s , x ) = ( s - 1) γ ( s - 1, x ) - x s −1 e - x y observando que lim x n e - x = 0 para x → ∞ y todo n, muestra que γ (s, x) también converge fuera de la tira hacia una función que obedece a la relación de recurrencia de la función Γ. Sigue
para todos los complejos s no un entero no positivo, x real y γ principal.
Convergencia sectorial
Ahora sea u del sector | arg z | < δ < π / 2 con algún δ fijo ( α = 0), γ sea la rama principal en este sector, y observe
Como se muestra arriba, la primera diferencia se puede hacer arbitrariamente pequeña, si | u | es suficientemente grande. La segunda diferencia permite la siguiente estimación:
donde hicimos uso de la representación integral de γ y la fórmula sobre | z s | sobre. Si integramos a lo largo del arco con radio R = | u | alrededor de 0 conectando u y | u |, entonces la última integral es
donde M = δ (cos δ ) -Re s e Im sδ es una constante independiente de T o R . De nuevo en referencia al comportamiento de x n e - x para grandes x , vemos que la última expresión se aproxima a 0 cuando R aumenta hacia ∞. En total ahora tenemos:
si s no es un número entero no negativo, 0 < ε < π / 2 es arbitrariamente pequeño, pero fijo, y γ denota la rama principal en este dominio.
Descripción general
es:
- entero en z para integrales positivas fijas s;
- holomórfico de valores múltiples en z para s fijo que no es un número entero, con un punto de ramificación en z = 0;
- en cada rama meromórfica en s para z fijo ≠ 0, con polos simples en enteros no positivos s.
Función gamma superior incompleta
En cuanto a la función superior incompleta gamma , un holomorphic extensión, con respecto a z o s , viene dada por
- [17]
en los puntos ( s , z ), donde existe el lado derecho. Desde tiene varios valores, lo mismo vale para , pero una restricción a los valores principales solo produce la rama principal de un solo valor de .
Cuando s es un número entero no positivo en la ecuación anterior, no se define ninguna parte de la diferencia, y un proceso de limitación , desarrollado aquí para s → 0, completa los valores faltantes. El análisis complejo garantiza la holomorficidad , porquedemuestra estar acotado en una vecindad de ese límite para un z fijo [18] .
Para determinar el límite, la serie de potencias de en z = 0 resulta útil. Al reemplazar por su serie de potencias en la definición integral de , se obtiene (suponga x , s reales positivos por ahora):
o
- [19]
que, como una representación en serie de todo el función, converge para todo el complejo x (y todo el complejo s no es un entero no positivo).
Con su restricción a los valores reales levantada, la serie permite la expansión:
Cuando s → 0:
- , [4]
(es la constante de Euler-Mascheroni aquí), por lo tanto,
es la función limitante de la función gamma incompleta superior como s → 0, también conocida como integral exponencial . [5]
Por medio de la relación de recurrencia, los valores de para enteros positivos n se puede derivar de este resultado, [6]
por lo que la función gamma incompleta superior demuestra existir y ser holomórfica, con respecto tanto a z como a s , para todo s y z ≠ 0.
es:
- entero en z para integrales positivas fijas s;
- holomorfo de valores múltiples en z para s fijos distintos de cero y no un entero positivo, con un punto de ramificación en z = 0;
- = para s con parte real positiva yz = 0 (el límite cuando), pero esta es una extensión continua, no analítica (¡ no es válido para s <0 real!);
- en cada rama entero en s para z 0 fijo .
Valores especiales
- si s es un entero positivo ,
- si s es un número entero positivo , [7]
- ,
- ,
- ,
- por ,
- ,
- ,
- .
Aquí, es la integral exponencial ,es la integral exponencial generalizada ,es la función de error , yes la función de error complementaria ,.
Comportamiento asintótico
- como ,
- como y (para s reales , el error de Γ ( s , x ) ~ - x s / s es del orden de O ( x min { s + 1, 0} ) si s ≠ −1 y O (ln ( x )) si s = −1 ),
- como ,
- como ,
- como una serie asintótica donde y . [8]
Fórmulas de evaluación
La función gamma inferior se puede evaluar utilizando la expansión de la serie de potencia: [20]
dónde es el símbolo de Pochhammer .
Una expansión alternativa es
donde M es la función hipergeométrica confluente de Kummer .
Conexión con la función hipergeométrica confluente de Kummer
Cuando la parte real de z es positiva,
dónde
tiene un radio de convergencia infinito.
Nuevamente con funciones hipergeométricas confluentes y empleando la identidad de Kummer,
Para el cálculo real de valores numéricos, la fracción continua de Gauss proporciona una expansión útil:
Esta fracción continua converge para todo el complejo z , siempre que s no sea un número entero negativo.
La función gamma superior tiene la fracción continua
- [9]
y
- [ cita requerida ]
Teorema de multiplicación
El siguiente teorema de la multiplicación es válido:
Implementación de software
Las funciones gamma incompletas están disponibles en varios de los sistemas de álgebra computacional .
Sin embargo, incluso si no están disponibles directamente, los valores de funciones incompletas se pueden calcular utilizando funciones que se incluyen comúnmente en hojas de cálculo (y paquetes de álgebra informática). En Excel , por ejemplo, estos se pueden calcular utilizando la función Gamma combinada con la función de distribución Gamma .
- La función inferior incompleta: = EXP (GAMMALN (s)) * GAMMA.DIST (x, s, 1, TRUE)
- La función superior incompleta: = EXP (GAMMALN (s)) * (1-DISTR.GAMMA (x, s, 1, VERDADERO)) .
Estos se derivan de la definición de la función de distribución acumulada de la distribución Gamma .
Funciones gamma regularizadas y variables aleatorias de Poisson
Dos funciones relacionadas son las funciones Gamma regularizadas:
es la función de distribución acumulativa para variables aleatorias Gamma con parámetro de forma y el parámetro de escala 1.
Cuándo es un entero, es la función de distribución acumulativa para las variables aleatorias de Poisson : Si es un variable aleatoria entonces
Esta fórmula se puede derivar mediante la integración repetida por partes.
Derivados
Usando la representación integral anterior, la derivada de la función gamma incompleta superior con respecto ax es
La derivada con respecto a su primer argumento viene dado por [10]
y la segunda derivada por
donde la funcion es un caso especial de la función G de Meijer
Este caso especial en particular tiene propiedades de cierre interno propias porque puede usarse para expresar todas las derivadas sucesivas. En general,
dónde es la permutación definida por el símbolo Pochhammer :
Todos estos derivados se pueden generar sucesivamente a partir de:
y
Esta función se puede calcular a partir de su representación en serie válida para ,
con el entendimiento de que s no es un número entero negativo o cero. En tal caso, se debe utilizar un límite. resultados parapuede obtenerse mediante la continuación analítica . Algunos casos especiales de esta función se pueden simplificar. Por ejemplo,, , dónde es la integral exponencial . Estas derivadas y la funciónproporcionar soluciones exactas a una serie de integrales mediante la diferenciación repetida de la definición integral de la función gamma incompleta superior. [11] [12] Por ejemplo,
Esta fórmula se puede inflar o generalizar aún más a una gran clase de transformadas de Laplace y transformadas de Mellin . Cuando se combina con un sistema de álgebra por computadora , la explotación de funciones especiales proporciona un método poderoso para resolver integrales definidas, en particular aquellas encontradas por aplicaciones prácticas de ingeniería (ver Integración simbólica para más detalles).
Integrales indefinidas y definidas
Las siguientes integrales indefinidas se obtienen fácilmente usando la integración por partes (con la constante de integración omitida en ambos casos):
La función Gamma incompleta inferior y superior están conectadas a través de la transformada de Fourier :
Esto sigue, por ejemplo, por una especialización adecuada de ( Gradshteyn & Ryzhik 2015 , §7.642)
.Notas
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enlaces externos
- - Calculadora de función gamma incompleta inferior regularizada
- - Calculadora de función gamma incompleta superior regularizada
- - Calculadora de función gamma incompleta inferior
- - Calculadora de función gamma incompleta superior
- fórmulas e identidades de las funciones de la Función Gamma Incompleta .wolfram.com