En matemáticas , una presentación es un método para especificar un grupo . Una presentación de un grupo G comprende un conjunto S de generadores —de modo que cada elemento del grupo puede escribirse como producto de potencias de alguno de estos generadores— y un conjunto R de relaciones entre esos generadores. Entonces decimos que G tiene presentación
Informalmente, G tiene la presentación anterior si es el "grupo más libre" generado por S sujeto solo a las relaciones R . Formalmente, se dice que el grupo G tiene la presentación anterior si es isomorfo al cociente de un grupo libre en S por el subgrupo normal generado por las relaciones R .
gracias a la convención de que los términos que no incluyen un signo de igual se toman como iguales a la identidad del grupo. Dichos términos se denominan relatores , distinguiéndolos de las relaciones que sí incluyen un signo igual.
Cada grupo tiene una presentación y, de hecho, muchas presentaciones diferentes; una presentación suele ser la forma más compacta de describir la estructura del grupo.
Un grupo libre en un conjunto S es un grupo en el que cada elemento se puede describir de forma única como un producto de longitud finita de la forma:
donde los s i son elementos de S, los s i adyacentes son distintos y los a i son enteros distintos de cero (pero n puede ser cero). En términos menos formales, el grupo consta de palabras en los generadores y sus inversos , sujeto solo a la cancelación de un generador con una ocurrencia adyacente de su inverso.