En álgebra abstracta , un isomorfismo de grupo es una función entre dos grupos que establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de los grupos de una manera que respeta las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, entonces los grupos se denominan isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomórficos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos.
Definición y notación
Dados dos grupos ( G , ∗) y, un isomorfismo de grupo de ( G , ∗) aes un biyectiva grupo homomorfismo de G a H . Explicado, esto significa que un isomorfismo de grupo es una función biyectivatal que para todo u y v en G se sostiene que
Los dos grupos ( G , ∗) yson isomorfos si existe un isomorfismo de uno a otro. Esto está escrito:
A menudo, se pueden utilizar notaciones más breves y sencillas. Cuando las operaciones de grupo relevantes no son ambiguas, se omiten y se escribe:
A veces incluso se puede escribir simplemente G = H . Si tal notación es posible sin confusión o ambigüedad depende del contexto. Por ejemplo, el signo igual no es muy adecuado cuando los grupos son ambos subgrupos del mismo grupo. Vea también los ejemplos.
Por el contrario, dado un grupo ( G , ∗), un conjunto H y una biyección , podemos hacer de H un grupo definiendo
- .
Si H = G yentonces la biyección es un automorfismo ( qv ).
Intuitivamente, los teóricos de grupos ven dos grupos isomorfos de la siguiente manera: para cada elemento g de un grupo G , existe un elemento h de H tal que h 'se comporta de la misma manera' que g (opera con otros elementos del grupo en la misma forma como g ). Por ejemplo, si g genera G , también lo hace h . Esto implica en particular que G y H están en correspondencia biyectiva. Por tanto, la definición de isomorfismo es bastante natural.
Un isomorfismo de grupos puede definirse de manera equivalente como un morfismo invertible en la categoría de grupos , donde invertible aquí significa que tiene una inversa de dos lados.
Ejemplos de
En esta sección se enumeran algunos ejemplos notables de grupos isomorfos.
- El grupo de todos los números reales con suma,, es isomorfo al grupo de números reales positivos con multiplicación:
- a través del isomorfismo
- (ver función exponencial ).
- El grupo de enteros (con suma) es un subgrupo de, y el grupo de factores es isomorfo al grupo de números complejos de valor absoluto 1 (con multiplicación):
- El grupo de cuatro de Klein es isomorfo al producto directo de dos copias de(ver aritmética modular ), y por lo tanto se puede escribir. Otra notación es Dih 2 , porque es un grupo diedro .
- Generalizando esto, para todo n impar , Dih 2 n es isomorfo con el producto directo de Dih n y Z 2 .
- Si ( G , ∗) es un grupo cíclico infinito , entonces ( G , ∗) es isomorfo a los números enteros (con la operación de suma). Desde un punto de vista algebraico, esto significa que el conjunto de todos los enteros (con la operación de suma) es el "único" grupo cíclico infinito.
Se puede probar que algunos grupos son isomorfos, basándose en el axioma de elección , pero la prueba no indica cómo construir un isomorfismo concreto. Ejemplos:
- El grupo es isomorfo al grupo de todos los números complejos con suma. [1]
- El grupo de números complejos distintos de cero con la multiplicación como operación isomorfa al grupo S 1 mencionado anteriormente.
Propiedades
El núcleo de un isomorfismo de ( G , ∗) a, es siempre {e G } donde e G es la identidad del grupo ( G , ∗)
Si ( G , ∗) yson isomorfos, entonces G es abeliano si y solo si H es abeliano.
Si f es un isomorfismo de ( G , ∗) a, entonces para cualquier a en G , el orden de a es igual al orden de f ( a ).
Si ( G , ∗) yson isomorfos, entonces ( G , ∗) es un grupo finito localmente si y solo si es localmente finito.
El número de grupos distintos (hasta el isomorfismo) de orden n viene dado por la secuencia A000001 en OEIS . Los primeros números son 0, 1, 1, 1 y 2, lo que significa que 4 es el orden más bajo con más de un grupo.
Grupos cíclicos
Todos los grupos cíclicos de un orden dado son isomorfos a , dónde denota módulo de adición .
Deje que G sea un grupo cíclico y n sea el orden de G . G es entonces el grupo generado por. Te mostraremos que
Definir
- , así que eso . Claramente, es biyectiva.
Luego
- , lo que demuestra que .
Consecuencias
De la definición, se deduce que cualquier isomorfismo mapeará el elemento de identidad de G con el elemento de identidad de H ,
que mapeará inversos a inversos,
y, en general, n º poderes al n º poderes,
para todo u en G , y que el mapa inverso es también un isomorfismo de grupo.
La relación "ser isomórfica" satisface todos los axiomas de una relación de equivalencia . Si f es un isomorfismo entre dos grupos G y H , entonces todo lo que es cierto acerca de G que solo está relacionado con la estructura del grupo puede traducirse a través de f en un enunciado ídem verdadero acerca de H , y viceversa.
Automorfismos
Un isomorfismo de un grupo ( G , ∗) a sí mismo se denomina automorfismo de este grupo. Por tanto, es una biyección tal que
Un automorfismo siempre mapea la identidad a sí mismo. La imagen bajo un automorfismo de una clase de conjugación es siempre una clase de conjugación (la misma u otra). La imagen de un elemento tiene el mismo orden que ese elemento.
La composición de dos automorfismos es de nuevo un automorfismo, y con esta operación, el conjunto de todos los automorfismos de un grupo G , denotado por Aut ( G ), las formas en sí un grupo, el grupo de automorfismos de G .
Para todos los grupos abelianos existe al menos el automorfismo que reemplaza los elementos del grupo por sus inversos. Sin embargo, en grupos donde todos los elementos son iguales a su inverso, este es el automorfismo trivial, por ejemplo, en el grupo de cuatro de Klein . Para ese grupo, todas las permutaciones de los tres elementos no identitarios son automorfismos, por lo que el grupo de automorfismos es isomorfo a S 3 y Dih 3 .
En Z p para un número primo p , un elemento no identitario puede ser reemplazado por cualquier otro, con los correspondientes cambios en los otros elementos. El grupo de automorfismos es isomorfo a Z p - 1 . Por ejemplo, para n = 7 , multiplicar todos los elementos de Z 7 por 3, módulo 7, es un automorfismo de orden 6 en el grupo de automorfismos, porque 3 6 ≡ 1 (módulo 7) , mientras que las potencias inferiores no dan 1. Por lo tanto este automorfismo genera Z 6 . Hay un automorfismo más con esta propiedad: multiplicar todos los elementos de Z 7 por 5, módulo 7. Por tanto, estos dos corresponden a los elementos 1 y 5 de Z 6 , en ese orden o viceversa.
El grupo de automorfismos de Z 6 es isomorfo a Z 2 , porque solo cada uno de los dos elementos 1 y 5 generan Z 6 , por lo que aparte de la identidad solo podemos intercambiar estos.
El grupo de automorfismo de Z 2 ⊕ Z 2 ⊕ Z 2 = Dih 2 ⊕ Z 2 tiene el orden 168, como se puede encontrar de la siguiente manera. Los 7 elementos que no son de identidad juegan el mismo papel, por lo que podemos elegir cuál juega el papel de (1,0,0). Cualquiera de los 6 restantes se puede elegir para desempeñar el papel de (0,1,0). Esto determina cuál corresponde a (1,1,0). Para (0,0,1) podemos elegir entre 4, que determina el resto. Por tanto, tenemos 7 × 6 × 4 = 168 automorfismos. Corresponden a los del plano de Fano , de los cuales los 7 puntos corresponden a los 7 elementos no identitarios. Las líneas que conectan tres puntos corresponden a la operación del grupo: una , b , y c en una línea significa un + b = c , un + c = b , y b + c = un . Véase también grupo lineal general sobre campos finitos .
Para los grupos abelianos, todos los automorfismos excepto el trivial se denominan automorfismos externos .
Los grupos no abelianos tienen un grupo de automorfismos internos no trivial y posiblemente también automorfismos externos.
Ver también
Referencias
- Herstein, IN, Temas de Álgebra , Wiley; 2a edición (20 de junio de 1975), ISBN 0-471-01090-1 .
- ^ Ash (1973). "Una consecuencia del axioma de elección" . Revista de la Sociedad Matemática Australiana . 19 (3): 306-308. doi : 10.1017 / S1446788700031505 . Consultado el 21 de septiembre de 2013 .