En geometría , un grupo de isometrías del espacio hiperbólico se llama geométricamente finito si tiene un dominio fundamental de buen comportamiento . Una variedad hiperbólica se llama geométricamente finita si puede describirse en términos de grupos geométricamente finitos .
Un poliedro C convexo en el espacio hiperbólico se llama geométricamente finito si su clausura C en la compactación conforme del espacio hiperbólico tiene la siguiente propiedad:
Por ejemplo, todo poliedro con un número finito de caras es geométricamente finito. En el espacio hiperbólico de dimensión 2 como máximo, cada poliedro geométricamente finito tiene un número finito de lados, pero hay poliedros geométricamente finitos en dimensiones 3 y superiores con infinitos lados. Por ejemplo, en el espacio euclidiano R n de dimensión n ≥2 existe un poliedro P de infinito número de lados. El modelo del semiplano superior del espacio hiperbólico dimensional n +1 en R n +1 se proyecta a R n , y la imagen inversa de P bajo esta proyección hay un poliedro geométricamente finito con un número infinito de lados.
Un poliedro geométricamente finito tiene solo un número finito de cúspides, y todos menos un número finito de lados se encuentran con una de las cúspides.
Un grupo discreto G de isometrías del espacio hiperbólico se llama geométricamente finito si tiene un dominio fundamental C que es convexo, geométricamente finito y exacto (cada cara es la intersección de C y gC para algún g ∈ G ) ( Ratcliffe 1994 , 12.4 ).
En espacios hiperbólicos de dimensión 3 como máximo, todo poliedro fundamental exacto, convexo para un grupo geométricamente finito tiene solo un número finito de lados, pero en dimensiones 4 y superiores hay ejemplos con un número infinito de lados ( Ratcliffe 1994 , teorema 12.4 ). .6).