Primer artículo de Cantor sobre teoría de conjuntos

Georg Cantor, c. 1870    

El primer artículo de Cantor sobre teoría de conjuntos contiene los primeros teoremas de la teoría de conjuntos transfinitos de Georg Cantor , que estudia los conjuntos infinitos y sus propiedades. Uno de estos teoremas es su "descubrimiento revolucionario" de que el conjunto de todos los números reales es incontable , más que contablemente , infinito. ^[1] Este teorema se demuestra usando la primera prueba de incontablecimiento de Cantor , que difiere de la prueba más familiar que usa su argumento diagonal . El título del artículo, " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales"(" Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen "), se refiere a su primer teorema: el conjunto de números algebraicos reales es contable. El artículo de Cantor se publicó en 1874. En 1879, modificó su prueba de incontables utilizando la noción topológica de un conjunto denso en un intervalo.

El artículo de Cantor también contiene una prueba de la existencia de números trascendentales . Tanto las pruebas constructivas como las no constructivas se han presentado como "prueba de Cantor". La popularidad de presentar una prueba no constructiva ha llevado a la idea errónea de que los argumentos de Cantor no son constructivos. Dado que la prueba que Cantor publicó construye números trascendentales o no, un análisis de su artículo puede determinar si esta prueba es constructiva o no. ^[2] La correspondencia de Cantor con Richard Dedekind muestra el desarrollo de sus ideas y revela que podía elegir entre dos pruebas: una prueba no constructiva que usa la incontables números reales y una prueba constructiva que no usa la incontable.

Los historiadores de las matemáticas han examinado el artículo de Cantor y las circunstancias en las que fue escrito. Por ejemplo, han descubierto que se le recomendó a Cantor que omitiera su teorema de incontablecimiento en el artículo que envió  ;  lo agregó durante la corrección de pruebas . Han rastreado este y otros hechos sobre el artículo hasta la influencia de Karl Weierstrass y Leopold Kronecker . Los historiadores también han estudiado las contribuciones de Dedekind al artículo, incluidas sus contribuciones al teorema sobre la contabilidad de los números algebraicos reales. Además, han reconocido el papel desempeñado por el teorema de incontabilidad y el concepto de contabilidad en el desarrollo de la teoría de conjuntos, la teoría de la medida y laIntegral de Lebesgue .

El artículo

El artículo de Cantor es corto, menos de cuatro páginas y media. ^[A] Comienza con una discusión de los números algebraicos reales y un enunciado de su primer teorema: El conjunto de números algebraicos reales se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de enteros positivos. ^[3] Cantor reafirma este teorema en términos más familiares para los matemáticos de su tiempo: el conjunto de números algebraicos reales se puede escribir como una secuencia infinita en la que cada número aparece solo una vez. ^[4]

Segundo teorema de Cantor trabaja con un intervalo cerrado [ a ,  b ], que es el conjunto de números reales ≥  una y ≤  b . El teorema establece: Dada cualquier secuencia de números reales x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... y cualquier intervalo [ a ,  b ], hay un número en [ a ,  b ] que no está contenido en la secuencia dada. Por lo tanto, hay infinitos números de este tipo. ^[5]

Cantor observa que la combinación de sus dos teoremas produce una nueva prueba del teorema de Liouville de que cada intervalo [ a ,  b ] contiene una cantidad infinita de números trascendentales . ^[5]

Cantor luego comenta que su segundo teorema es:

la razón por la cual las colecciones de números reales que forman un llamado continuo (por ejemplo, todos los números reales que son ≥ 0 y ≤ 1) no pueden corresponder uno a uno con la colección (ν) [la colección de todos los enteros positivos]; así he encontrado la clara diferencia entre un llamado continuo y una colección como la totalidad de números algebraicos reales. ^[6]

Esta observación contiene el teorema de incontables de Cantor, que sólo establece que un intervalo [ a ,  b ] no se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números enteros positivos. No establece que este intervalo sea un conjunto infinito de cardinalidad mayor que el conjunto de enteros positivos. La cardinalidad se define en el siguiente artículo de Cantor, que se publicó en 1878. ^[7]

Prueba del teorema de incontables de Cantor

Cantor no prueba explícitamente su teorema de incontables, que se sigue fácilmente de su segundo teorema. Se puede probar usando prueba por contradicción . Suponga que el intervalo [ a ,  b ] se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de enteros positivos, o de manera equivalente: Los números reales en [ a ,  b ] se pueden escribir como una secuencia en la que aparece cada número real sólo una vez. Al aplicar el segundo teorema de Cantor a esta secuencia y [ a ,  b ] se obtiene un número real en [ a ,  b ] que no pertenece a la secuencia. Esto contradice la suposición original y prueba el teorema de la incontables. [8]

Cantor solo enuncia su teorema de incontabilidad. No lo usa en ninguna prueba. ^[3]

Las pruebas

Primer teorema

Números algebraicos en el plano complejo coloreados por grado de polinomio. (rojo = 1, verde = 2, azul = 3, amarillo = 4). Los puntos se vuelven más pequeños a medida que los coeficientes polinomiales enteros se hacen más grandes.

Para demostrar que el conjunto de números algebraicos reales es contable, defina la altura de un polinomio de grado n con coeficientes enteros como: n  - 1 + | a ₀ | + | a ₁ | + ... + | a _n |, donde a ₀ , a ₁ , ..., a _n son los coeficientes del polinomio. Ordena los polinomios por su altura y ordena las raíces realesde polinomios de la misma altura por orden numérico. Dado que solo hay un número finito de raíces de polinomios de una altura determinada, estos ordenamientos colocan los números algebraicos reales en una secuencia. Cantor dio un paso más y produjo una secuencia en la que cada número algebraico real aparece solo una vez. Hizo esto usando solo polinomios que son irreducibles sobre los números enteros. La siguiente tabla contiene el comienzo de la enumeración de Cantor. ^[9]

Enumeración de Cantor de los números algebraicos reales
Número algebraico real	Polinomio	Altura del polinomio
x 1 = 0	X	1
x 2 = −1	x + 1	2
x 3 = 1	x - 1	2
x 4 = −2	x + 2	3
x 5 = -1/2	2 x + 1	3
x 6 =1/2	2 x - 1	3
x 7 = 2	x - 2	3
x 8 = −3	x + 3	4
x 9 =−1 - √ 5/2	x 2 + x - 1	4
x 10 = - √ 2	x 2 - 2	4
x 11 = -1/√ 2	2 x 2 - 1	4
x 12 =1 - √ 5/2	x 2 - x - 1	4
x 13 = -1/3	3 x + 1	4
x 14 =1/3	3 x - 1	4
x 15 =−1 + √ 5/2	x 2 + x - 1	4
x 16 =1/√ 2	2 x 2 - 1	4
x 17 = √ 2	x 2 - 2	4
x 18 =1 + √ 5/2	x 2 - x - 1	4
x 19 = 3	x - 3	4

Segundo teorema

Solo es necesario demostrar la primera parte del segundo teorema de Cantor. Dice: Dada cualquier secuencia de números reales x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... y cualquier intervalo [ a ,  b ], hay un número en [ a ,  b ] que no está contenido en la secuencia dada. ^[B]

Para encontrar un número en [ a ,  b ] que no esté contenido en la secuencia dada, construya dos secuencias de números reales como sigue: Encuentre los dos primeros números de la secuencia dada que están en el intervalo abierto ( a ,  b ). Denote el menor de estos dos números con a ₁ y el mayor con b ₁ . De manera similar, encuentre los dos primeros números de la secuencia dada que están en ( a ₁ ,  b ₁ ). Denote el menor con a ₂ y el mayor con b ₂ . Continuar con este procedimiento genera una secuencia de intervalos (a ₁ ,  b ₁ ), ( a ₂ ,  b ₂ ), ( a ₃ ,  b ₃ ), ... tal que cada intervalo de la secuencia contiene todos los intervalos sucesivos  ,  es decir, genera una secuencia de intervalos anidados . Esto implica que la secuencia a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... es creciente y la secuencia b ₁ , b ₂ , b ₃ , ... es decreciente. ^[10]

O el número de intervalos generados es finito o infinito. Si es finito, sea ( a _L ,  b _L ) el último intervalo. Si es infinito, tome los límites a _∞  = lim _{n  → ∞}  a _n y b _∞  = lim _{n  → ∞}  b _n . Dado que a _n  <  b _n para todo n , a _∞  =  b _∞ o a _∞  <  b _∞ . Por tanto, hay tres casos a considerar:

Caso 1: Último intervalo ( a _L , b _L )

Caso 1: Hay un último intervalo ( a _L ,  b _L ). Dado que como máximo una x _n puede estar en este intervalo, cada y en este intervalo excepto x _n (si existe) no está contenida en la secuencia dada.

Caso 2: a _∞ = b _∞

Caso 2: a _∞  =  b _∞ . Entonces a _∞ no está contenido en la secuencia dada ya que para todo n  : a _∞ pertenece al intervalo ( a _n ,  b _n ) pero x _n no pertenece a ( a _n ,  b _n ). En símbolos: a _∞  ∈  ( a _n ,  b _n ) pero x _n  ∉  ( a _n ,  b _n ).

Prueba de que para todo  n  : x n ∉ ( a n ,  b n )

Este lema se usa en los casos 2 y 3. Está implícito en el lema más fuerte: para todo  n , ( a n ,  b n ) excluye x 1 , ...,  x 2 n . Esto se prueba por inducción . Paso básico: dado que los puntos finales de ( a 1 ,  b 1 ) son x 1 y x 2 y un intervalo abierto excluye sus puntos finales, ( a 1 ,  b 1 ) excluye x 1 ,  x 2. Paso inductivo: suponga que ( a n ,  b n ) excluye x 1 , ...,  x 2 n . Dado que ( a n +1 ,  b n +1 ) es un subconjunto de ( a n ,  b n ) y sus puntos finales son x 2 n +1 y x 2 n +2 , ( a n +1 ,  b n +1 ) excluye x 1 , ...,  x 2 ny x 2 n +1 ,  x 2 n +2 . Por tanto, para todo  n , ( a n ,  b n ) excluye x 1 , ...,  x 2 n . Por lo tanto, para todo  n , x n  ∉ ( a n ,  b n ). [C]

Caso 3: a _∞ < b _∞

Caso 3: a _∞  <  b _∞ . Entonces cada y en [ a _∞ ,  b _∞ ] no está contenida en la secuencia dada ya que para todo n  : y pertenece a ( a _n ,  b _n ) pero x _n no. ^[11]

La demostración es completa ya que, en todos los casos, se ha encontrado al menos un número real en [ a ,  b ] que no está contenido en la secuencia dada. ^[D]

Las demostraciones de Cantor son constructivas y se han utilizado para escribir un programa de computadora que genera los dígitos de un número trascendental. Este programa aplica la construcción de Cantor a una secuencia que contiene todos los números algebraicos reales entre 0 y 1. El artículo que analiza este programa da parte de su salida, que muestra cómo la construcción genera un trascendental. ^[12]

Ejemplo de la construcción de Cantor

Un ejemplo ilustra cómo funciona la construcción de Cantor. Considere la secuencia:1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, ... Esta secuencia se obtiene ordenando los números racionales en (0, 1) aumentando los denominadores, ordenando los que tienen el mismo denominador aumentando los numeradores y omitiendo las fracciones reducibles . La siguiente tabla muestra los primeros cinco pasos de la construcción. La primera columna de la tabla contiene los intervalos ( a _n ,  b _n ). La segunda columna enumera los términos visitados durante la búsqueda de los dos primeros términos en ( a _n ,  b _n ). Estos dos términos están en rojo. ^[13]

Generando un número usando la construcción de Cantor

Intervalo	Encontrar el siguiente intervalo	Intervalo (decimal)
${\displaystyle \left(\;{\frac {1}{3}},\;\;\!{\frac {1}{2}}\;\right)}$	${\displaystyle \;{\frac {2}{3}},\;\!{\frac {1}{4}},\;\!{\frac {3}{4}},\;\!{\frac {1}{5}},\;\!{\color {red}{\frac {2}{5}},}\;\!\;\!{\frac {3}{5}},\;\!{\frac {4}{5}},\;\!{\frac {1}{6}},\;\!{\frac {5}{6}},\;\!{\frac {1}{7}},\;\!{\frac {2}{7}},\;\!{\color {red}{\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle \left(0.3333\dots ,\;0.5000\dots \right)}$
${\displaystyle \left(\;{\frac {2}{5}},\;\;\!{\frac {3}{7}}\;\right)}$	${\displaystyle \;{\frac {4}{7}},\;\dots ,\;{\frac {1}{12}},{\color {red}{\frac {5}{12}},}\;\!{\frac {7}{12}},\;\dots ,\;{\frac {6}{17}},{\color {red}{\frac {7}{17}}}}$	${\displaystyle \left(0.4000\dots ,\;0.4285\dots \right)}$
${\displaystyle \left({\frac {7}{17}},{\frac {5}{12}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {8}{17}},\;\!\dots ,\;\!{\frac {11}{29}},{\color {red}{\frac {12}{29}},}\;\!{\frac {13}{29}},\;\dots ,\;{\frac {16}{41}},{\color {red}{\frac {17}{41}}}}$	${\displaystyle \left(0.4117\dots ,\;0.4166\dots \right)}$
${\displaystyle \left({\frac {12}{29}},{\frac {17}{41}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {18}{41}},\;\!\dots ,\;\!{\frac {27}{70}},{\color {red}{\frac {29}{70}},}\;\!{\frac {31}{70}},\;\dots ,\;{\frac {40}{99}},{\color {red}{\frac {41}{99}}}}$	${\displaystyle \left(0.4137\dots ,\;0.4146\dots \right)}$
${\displaystyle \left({\frac {41}{99}},{\frac {29}{70}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {43}{99}},\dots ,{\frac {69}{169}},{\color {red}{\frac {70}{169}},}\;\!{\frac {71}{169}},\,\dots ,{\frac {98}{239}},{\color {red}{\frac {99}{239}}}}$	${\displaystyle \left(0.4141\dots ,\;0.4142\dots \right)}$

Dado que la secuencia contiene todos los números racionales en (0, 1), la construcción genera un número irracional , que resulta ser √ 2  - 1. ^[14]

Prueba de que el número generado es √ 2  - 1

La prueba usa secuencias de Farey y fracciones continuas . La secuencia de Farey es la creciente secuencia de fracciones completamente reducidos cuyos denominadores son Si y son adyacentes en una secuencia de Farey, la fracción de denominador más bajo entre ellos es su mediant Este mediant es adyacente a ambos y en la secuencia de Farey [15]${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle \leq n.}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ ${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}.}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$${\displaystyle F_{b+d}.}$ La construcción de Cantor produce mediantes porque los números racionales fueron secuenciados por denominador creciente. El primer intervalo de la tabla es Dado que y son adyacentes en su mediante es la primera fracción en la secuencia entre y Por lo tanto, en esta desigualdad, tiene el denominador más pequeño, por lo que la segunda fracción es la mediante de y que es igual a Esto implica: Por lo tanto, el siguiente intervalo es${\displaystyle ({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}).}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle F_{3},}$${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}.}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}.}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}},}$${\displaystyle {\frac {3}{7}}.}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.}$${\displaystyle ({\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}}).}$ Demostraremos que los puntos finales de los intervalos convergen a la fracción continua Esta fracción continua es el límite de sus convergentes :${\displaystyle [0;2,2,\dots ].}$ ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}=[0;2,\dots ,2]\;\;(n\;2{\text{'s}}).}$ Las secuencias y satisfacen las ecuaciones: [16]${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle p_{0}=0\;\;\;\;\;\;\;p_{1}=1\;\;\;\;\;\;\;p_{n+1}=2p_{n}+p_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1}$ ${\displaystyle q_{0}=1\;\;\;\;\;\;\;q_{1}=2\;\;\;\;\;\;\;q_{n+1}=2q_{n}+q_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1}$ Primero, probamos por inducción que para n impar , el n -ésimo intervalo en la tabla es: ${\displaystyle \left({\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}},{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right)\!,}$ y para incluso n , los puntos finales del intervalo se invierten:${\displaystyle \left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.}$ Esto es cierto para el primer intervalo ya que: ${\displaystyle \left({\frac {p_{1}+p_{0}}{q_{1}+q_{0}}},{\frac {p_{1}}{q_{1}}}\right)=\left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\right)\!.}$ Suponga que la hipótesis inductiva es verdadera para el k -ésimo intervalo. Si k es impar, este intervalo es: ${\displaystyle \left({\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}},{\frac {p_{k}}{q_{k}}}\right)\!.}$ El mediante de sus puntos finales es la primera fracción en la secuencia entre estos puntos finales.${\displaystyle {\frac {2p_{k}+p_{k-1}}{2q_{k}+q_{k-1}}}={\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}}$ Por eso, ${\displaystyle {\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}<{\frac {p_{k}}{q_{k}}}.}$ En esta desigualdad, tiene el denominador más pequeño, por lo que la segunda fracción es el mediante de y que es igual a${\displaystyle {\frac {p_{k}}{q_{k}}}}$${\displaystyle {\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}}$${\displaystyle {\frac {p_{k}}{q_{k}}},}$${\displaystyle {\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}.}$ Esto implica: ${\displaystyle {\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}<{\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}<{\frac {p_{k}}{q_{k}}}.}$ Por lo tanto, el  intervalo ( k + 1) -st es${\displaystyle \left({\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}},{\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}\right)\!.}$ Este es el intervalo deseado; es el extremo izquierdo porque k  + 1 es par. Por tanto, la hipótesis inductiva es cierta para el  intervalo ( k + 1) -st. Incluso para k , la demostración es similar. Esto completa la prueba inductiva.${\displaystyle {\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}}$ Dado que los puntos finales derechos de los intervalos están disminuyendo y cada otro punto final es su límite igual. Los puntos finales izquierdos tienen el mismo límite porque están aumentando y cada otro punto final es Como se mencionó anteriormente, este límite es la fracción continua que es igual a [17]${\displaystyle {\frac {p_{2n-1}}{q_{2n-1}}},}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{q_{n}}}.}$${\displaystyle {\frac {p_{2n}}{q_{2n}}}.}$${\displaystyle [0;2,2,\dots ],}$${\displaystyle {\sqrt {2}}-1.}$

Prueba incontable de Cantor de 1879

En todas partes denso

En 1879, Cantor publicó una nueva prueba de incontables que modifica su prueba de 1874. Primero define la noción topológica de un conjunto de puntos P que es " denso en todas partes en un intervalo": ^[E]

Si P mentiras parcial o completamente en el intervalo [α, β], entonces el caso notable puede suceder que cada intervalo [γ, δ] contenida en [α, β], no importa cuán pequeño, contiene puntos de P . En tal caso, diremos que P es denso en todas partes en el intervalo [α, β]. ^[F]

En esta discusión de la demostración de Cantor: a ,  b ,  c ,  d se usan en lugar de α, β, γ, δ. Además, Cantor solo usa su notación de intervalo si el primer punto final es menor que el segundo. Para esta discusión, esto significa que ( a ,  b ) implica a  <  b .

Dado que la discusión de la demostración de Cantor de 1874 se simplificó mediante el uso de intervalos abiertos en lugar de intervalos cerrados, aquí se usa la misma simplificación. Esto requiere una definición equivalente de todas partes denso: Un conjunto P está en todas partes denso en el intervalo [ a ,  b ] si y sólo si cada abierto subintervalo ( c ,  d ) de [ un ,  b ] contiene al menos un punto de P . ^[18]

Cantor no especificó cuántos puntos de P debe contener un subintervalo abierto ( c ,  d ). Él no necesita especificar esto porque la suposición de que cada subintervalo abierto contiene al menos un punto de P implica que cada subintervalo abierto contiene un número infinito de puntos de P . ^[GRAMO]

Prueba de Cantor de 1879

Cantor modificó su demostración de 1874 con una nueva demostración de su segundo teorema : Dada cualquier secuencia P de números reales x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... y cualquier intervalo [ a ,  b ], hay un número en [ a ,  b ] que no está contenido en P . La nueva prueba de Cantor tiene solo dos casos. Primero, maneja el caso de que P no sea denso en el intervalo, luego trata el caso más difícil de Psiendo denso en el intervalo. Esta división en casos no solo indica qué secuencias son más difíciles de manejar, sino que también revela el importante papel que juega la densidad en la demostración. ^{[prueba 1]}

En el primer caso, P no es denso en [ a ,  b ]. Por definición, P es denso en [ a ,  b ] si y solo si para todos los subintervalos ( c ,  d ) de [ a ,  b ], existe una x  ∈  P tal que x ∈ ( c , d ) . Tomando la negación de cada lado del "si y solo si" se produce: P no es denso en [ a ,  b ] si y solo si existe un subintervalo ( c ,  d) de [ a ,  b ] tal que para todo x  ∈  P  : x ∉ ( c , d ) . Por lo tanto, cada número en ( c ,  d ) no está contenido en la secuencia P . ^{[prueba 1]} Este caso maneja el caso 1 y el caso 3 de la prueba de Cantor de 1874.

En el segundo caso, que maneja el caso 2 de la demostración de Cantor de 1874, P es denso en [ a ,  b ]. La densidad de la secuencia P se usa para definir recursivamente una secuencia de intervalos anidados que excluye todos los números en P y cuya intersección contiene un solo número real en [ a ,  b ]. La secuencia de intervalos comienza con ( a ,  b ). Dado un intervalo en la secuencia, el siguiente intervalo se obtiene encontrando los dos números con los menores índices que pertenecen a P y al intervalo actual. Estos dos números son lospuntos finales del siguiente intervalo abierto. Desde un abierto excluye intervalo de sus puntos finales, cada anidadas elimina intervalo de dos números a partir de la parte delantera de la secuencia P , lo que implica que la intersección de los intervalos excluye anidados todos los números en P . ^{[prueba 1] Los} detalles de esta prueba y una prueba de que esta intersección contiene un solo número real en [ a ,  b ] se dan a continuación.

Definición y pruebas de los intervalos anidados.

La densidad de la secuencia P se utiliza para definir de forma recursiva una secuencia anidada de intervalos que excluye todos los números en P . El caso base comienza con el intervalo ( a ,  b ). Dado que P es denso en [ a ,  b ], hay infinitos números de P en ( a ,  b ). Sea x k 1 el número con el índice menor y x k 2 el número con el siguiente índice más grande, y sea a 1 el menor y bSeré el mayor de estos dos números. Entonces, k 1  <  k 2 , a < a 1 < b 1 < b , y ( a 1 ,  b 1 ) es un subintervalo propio de ( a ,  b ). Además, x m ∉ ( a 1 ,  b 1 ) para m  ≤  k 2 ya que estos x m son los puntos finales de ( a 1 , b 1 ). Repetir la prueba anterior con el intervalo ( a 1 ,  b 1 ) produce k 3 , k 4 , a 2 , b 2 tal que k 1 < k 2 < k 3 < k 4 y a < a 1 < a 2 < b 2 < b 1 < b y x m ∉ ( a 2, b 2 ) para m  ≤  k 4 . [prueba 1] El paso recursivo comienza con el intervalo ( a n –1 , b n –1 ) , las desigualdades k 1 < k 2 <. . . < k 2 n –2 < k 2 n –1 y a < a 1 <. . . < a n –1 < b n –1 . . . < b 1 < b , y el hecho de que el intervalo ( a n –1, B n -1 ) excluye los primeros 2 n  -2 miembros de la secuencia P  -  que es, x m ∉ ( un n -1 , b n -1 ) para m  ≤  k 2 n -2 . Dado que P es denso en [ a ,  b ], hay infinitos números de P en ( a n –1 , b n –1 ) . Sea x k2 n  –1 es el número con el menor índice y x k 2 n es el número con el siguiente índice más grande, y sea a n el menor y b n el mayor de estos dos números. Entonces, k 2 n  –1  <  k 2 n , a n –1 < a n < b n < b n –1 , y ( a n ,  b n ) es un subintervalo propio de (a n –1 , b n –1 ) . La combinación de estas desigualdades con las del paso n  –1 de la recursividad produce k 1 < k 2 <. . . < k 2 n –1 < k 2 n y a < a 1 <. . . < a n < b n . . . < b 1 < b . Además, x m ∉ ( a n ,  b n )para m  =  k 2 n –1 y m  =  k 2 n ya que estos x m son los puntos finales de ( a n ,  b n ). Esto junto con ( a n –1 , b n –1 ) excluyendo los primeros 2 n  –2 miembros de la secuencia P implica que el intervalo ( a n ,  b n ) excluye los primeros 2 n miembros de P  -  quees, x m ∉ ( a n , b n ) para m  ≤  k 2 n . Por lo tanto, para todo n , x n ∉ ( a n , b n ) ya que n  ≤  k 2 n . [prueba 1] La secuencia a n es creciente y está limitada por b , por lo que el límite A  = lim n  → ∞  a n existe. De manera similar, el límite B  = lim n  → ∞  b n existe ya que la secuencia b n es decreciente y está limitada por debajo por a . También, un n  <  b n implica A  ≤  B . Si A  <  B , entonces para cada n : xn  ∉ ( A ,  B ) porque x n no está en el intervalo mayor ( a n ,  b n ). Esto contradice que P sea ​​denso en [ a ,  b ]. Por lo tanto, A  =  B . Para todo n , A ∈ ( a n ,  b n ) pero x n ∉ ( a n ,  b n ) . Por lo tanto, A es un número en [ a ,  b] Que no está contenido en P . [prueba 1]

El desarrollo de las ideas de Cantor

El desarrollo que condujo al artículo de Cantor de 1874 aparece en la correspondencia entre Cantor y Richard Dedekind . El 29 de noviembre de 1873, Cantor preguntó a Dedekind si la colección de números enteros positivos y la colección de números reales positivos "¿pueden corresponder de modo que cada individuo de una colección corresponda a uno y sólo a un individuo del otro?" Cantor añadió que las colecciones que tienen una correspondencia de este tipo incluyen la colección de números racionales positivos, y las colecciones de la forma ( un _{n 1 ,  n 2 ,...,  N ν} ) donde n ₁ , n ₂ ,. . . , n _ν , yν son números enteros positivos. ^[19]

Dedekind respondió que no podía responder a la pregunta de Cantor y dijo que "no merecía demasiado esfuerzo porque no tiene ningún interés práctico particular". Dedekind también envió a Cantor una prueba de que el conjunto de números algebraicos es contable. ^[20]

El 2 de diciembre, Cantor respondió que su pregunta sí tiene interés: "Sería bueno si se pudiera responder; por ejemplo, siempre que se pudiera responder que no , uno tendría una nueva prueba del teorema de Liouville de que existen números trascendentales. " ^[21]

El 7 de diciembre, Cantor envió a Dedekind una prueba por contradicción de que el conjunto de números reales es incontable. Cantor comienza asumiendo que los números reales en se pueden escribir como una secuencia. Luego, aplica una construcción a esta secuencia para producir un número que no está en la secuencia, contradiciendo así su suposición. ^[22] Juntas, las cartas del 2 y 7 de diciembre proporcionan una prueba no constructiva de la existencia de números trascendentales. ^[23] Además, la prueba de la carta de Cantor del 7 de diciembre muestra parte del razonamiento que lo llevó a descubrir que los números reales forman un conjunto incontable. ^[24]${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$

Prueba de Cantor del 7 de diciembre de 1873

La prueba es por contradicción y comienza asumiendo que los números reales en se pueden escribir como una secuencia:${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (\mathrm {I} )\;\;\omega _{1},\,\omega _{2},\,\omega _{3},\,\ldots ,\,\omega _{n},\,\ldots }$ Una secuencia creciente se extrae de esta secuencia dejando que el primer término siga al siguiente término más grande después del siguiente término más grande   y así sucesivamente. El mismo procedimiento se aplica a los miembros restantes de la secuencia original para extraer otra secuencia creciente. Al continuar este proceso de extracción de secuencias, se ve que la secuencia se puede descomponer en infinitas secuencias: [22]  ${\displaystyle \omega _{1}^{1}=}$${\displaystyle ,\ \omega _{1}^{2}=}$${\displaystyle \omega _{1}^{1},\ \omega _{1}^{3}=}$${\displaystyle \omega _{1}^{2},}$${\displaystyle (\mathrm {I} )}$ ${\displaystyle (1)\;\;\omega _{1}^{1},\,\omega _{1}^{2},\,\omega _{1}^{3},\,\ldots ,\,\omega _{1}^{n},\,\ldots }$ ${\displaystyle (2)\;\;\omega _{2}^{1},\,\omega _{2}^{2},\,\omega _{2}^{3},\,\ldots ,\,\omega _{2}^{n},\,\ldots }$ ${\displaystyle (3)\;\;\omega _{3}^{1},\,\omega _{3}^{2},\,\omega _{3}^{3},\,\ldots ,\,\omega _{3}^{n},\,\ldots }$ ${\displaystyle \ \ \vdots }$ Sea un intervalo tal que ningún término de la secuencia (1) se encuentre en él. Por ejemplo, deje y satisfaga Then para que ningún término de la secuencia (1) se encuentre en [22]${\displaystyle [p,q]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \omega _{1}^{1}<p<q<\omega _{1}^{2}.}$${\displaystyle \omega _{1}^{1}<p<q<\omega _{1}^{n}}$${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle [p,q].}$ Ahora considere si los términos de las otras secuencias se encuentran fuera. Todos los términos de algunas de estas secuencias pueden estar fuera de. Sin embargo, debe haber alguna secuencia tal que no todos sus términos estén fuera. De lo contrario, los números en no estarían contenidos en la secuencia contrariamente a la hipótesis inicial. Sea secuencia la primera secuencia que contiene un término y sea ​​el primer término. Dado que let y satisfacer Then es un superconjunto adecuado de (en símbolos, ). Además, los términos de las secuencias se  encuentran fuera de [22]${\displaystyle [p,q].}$${\displaystyle [p,q];}$${\displaystyle [p,q].}$${\displaystyle [p,q]}$${\displaystyle (\mathrm {I} ),}$${\displaystyle (k)}$${\displaystyle [p,q]}$${\displaystyle \omega _{k}^{n}}$${\displaystyle p<\omega _{k}^{n}<q,}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle p<p_{1}<q_{1}<\omega _{k}^{n}<q.}$${\displaystyle [p,q]}$${\displaystyle [p_{1},q_{1}]}$${\displaystyle [p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]}$${\displaystyle (1),(2),\ldots ,(k-1)}$${\displaystyle [p_{1},q_{1}].}$ Repita el argumento anterior comenzando con Sea secuencia la primera secuencia que contiene un término y sea ​​el primer término. Dado que let y satisfacer Then y los términos de sucesiones  están fuera de [22]${\displaystyle [p_{1},q_{1}]\!:\,}$${\displaystyle (k_{1})}$${\displaystyle [p_{1},q_{1}]}$${\displaystyle \omega _{k_{1}}^{n}}$${\displaystyle \ p_{1}<\omega _{k_{1}}^{n}<q_{1},}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle p_{1}<p_{2}<q_{2}<\omega _{k_{1}}^{n}<q_{1}.}$${\displaystyle [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]}$${\displaystyle (k_{1}),\ldots ,(k_{2}-1)}$${\displaystyle [p_{2},q_{2}].}$ Se ve que es posible formar una secuencia infinita de intervalos anidados de manera que: los miembros de la secuencia están fuera de los miembros de la secuencia están fuera de los miembros de la secuencia están fuera [22]${\displaystyle [p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots }$       ${\displaystyle 1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}}$${\displaystyle [p,q];}$       ${\displaystyle k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}}$${\displaystyle [p_{1},q_{1}];}$       ${\displaystyle (k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}}$${\displaystyle [p_{2},q_{2}];}$       ${\displaystyle \ldots ;}$ Dado que y son secuencias monótonas acotadas , los límites y existen. Además, para todos implica lo tanto, hay al menos un número en que yace en todos los intervalos y A saber, puede ser cualquier número en Esto implica que mentiras fuera de todas las secuencias que contradicen la hipótesis inicial de que la secuencia contiene todos los números reales en tanto, el conjunto de todos los números reales es incontable. [22]${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }q_{n}}$${\displaystyle p_{n}<q_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}\leq \lim _{n\to \infty }q_{n}.}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle [p,q]}$${\displaystyle [p_{n},q_{n}].}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle [\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (1),(2),(3),\ldots ,}$${\displaystyle (\mathrm {I} )}$${\displaystyle [0,1].}$

Dedekind recibió la prueba de Cantor el 8 de diciembre. Ese mismo día, Dedekind simplificó la prueba y la envió por correo a Cantor. Cantor usó la prueba de Dedekind en su artículo. ^[25] La carta que contiene la prueba de Cantor del 7 de diciembre no se publicó hasta 1937. ^[26]

El 9 de diciembre, Cantor anunció el teorema que le permitió construir números trascendentales así como probar la incontabilidad del conjunto de números reales:

Muestro directamente que si empiezo con una secuencia

(1)     ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _n , ...

Puedo determinar, en cada intervalo dado [ α ,  β ], un número η que no está incluido en (1). ^[27]

Este es el segundo teorema del artículo de Cantor. Proviene de darse cuenta de que su construcción se puede aplicar a cualquier secuencia, no solo a secuencias que supuestamente enumeran los números reales. De modo que Cantor tuvo que elegir entre dos pruebas que demuestran la existencia de números trascendentales: una prueba es constructiva, pero la otra no lo es. Estas dos pruebas se pueden comparar comenzando con una secuencia que consta de todos los números algebraicos reales.

La prueba constructiva aplica la construcción de Cantor a esta secuencia y al intervalo [ a ,  b ] para producir un número trascendental en este intervalo. ^[5]

La prueba no constructiva utiliza dos pruebas por contradicción:

1. La prueba por contradicción utilizada para probar el teorema de incontablecimiento (ver Prueba del teorema de incontablecimiento de Cantor ).
2. La prueba por contradicción se utiliza para probar la existencia de números trascendentales a partir de la contabilidad de los números algebraicos reales y la incontabilidad de los números reales. La carta de Cantor del 2 de diciembre menciona esta prueba de existencia pero no la contiene. Aquí hay una prueba: suponga que no hay números trascendentales en [ a ,  b ]. Entonces todos los números en [ a ,  b ] son ​​algebraicos. Esto implica que forman una subsecuencia de la secuencia de todos los números algebraicos reales, lo que contradice el teorema de incontables de Cantor. Por lo tanto, la suposición de que no hay números trascendentales en [ a ,  b] Es falso. Por lo tanto, hay un número trascendental en [ a ,  b ]. ^[H]

Cantor optó por publicar la prueba constructiva, que no solo produce un número trascendental sino que además es más breve y evita dos pruebas por contradicción. La prueba no constructiva de la correspondencia de Cantor es más simple que la anterior porque trabaja con todos los números reales en lugar del intervalo [ a ,  b ]. Esto elimina el paso de la subsecuencia y todas las apariciones de [ a ,  b ] en la segunda prueba por contradicción. ^[5]

Un concepto erróneo sobre el trabajo de Cantor

Akihiro Kanamori , que se especializa en la teoría de conjuntos, afirmó que "Los relatos del trabajo de Cantor han invertido en su mayoría el orden para deducir la existencia de números trascendentales, estableciendo primero la incontabilidad de los reales y solo luego sacando la conclusión de existencia a partir de la contabilidad de los números algebraicos. . En los libros de texto, la inversión puede ser inevitable, pero esto ha promovido la idea errónea de que los argumentos de Cantor no son constructivos ". ^[29]

Tanto la prueba publicada de Cantor como la prueba de orden inverso usan el teorema: Dada una secuencia de reales, se puede encontrar un real que no está en la secuencia. Al aplicar este teorema a la secuencia de números algebraicos reales, Cantor produjo un número trascendental. Luego demostró que los reales son incontables: suponga que hay una secuencia que contiene todos los reales. La aplicación del teorema a esta secuencia produce un real que no está en la secuencia, lo que contradice la suposición de que la secuencia contiene todos los reales. Por tanto, los reales son incontables. ^[5]La prueba de orden inverso comienza probando primero que los reales son incontables. Luego prueba que los números trascendentales existen: si no hubiera números trascendentales, todos los reales serían algebraicos y, por lo tanto, contables, lo que contradice lo que se acaba de demostrar. Esta contradicción prueba que los números trascendentales existen sin construir ninguno. ^[29]

Oskar Perron,     c. 1948

La correspondencia que contiene el razonamiento no constructivo de Cantor se publicó en 1937. Para entonces, otros matemáticos habían redescubierto su prueba no constructiva y de orden inverso. Ya en 1921, esta prueba fue llamada "prueba de Cantor" y criticada por no producir números trascendentales. ^[30] En ese año, Oskar Perron dio la prueba de orden inverso y luego declaró: "... la prueba de Cantor de la existencia de números trascendentales tiene, junto con su simplicidad y elegancia, la gran desventaja de que es sólo una prueba de existencia; no nos permite especificar ni siquiera un solo número trascendental ". ^{[31] [I]}

Abraham Fraenkel, entre 1939 y 1949

Ya en 1930, algunos matemáticos han intentado corregir este concepto erróneo del trabajo de Cantor. En ese año, el teórico de conjuntos Abraham Fraenkel afirmó que el método de Cantor es "... un método que, por cierto, contrariamente a una interpretación generalizada, es fundamentalmente constructivo y no meramente existencial". ^[32] En 1972, Irving Kaplansky escribió: "A menudo se dice que la demostración de Cantor no es 'constructiva' y, por lo tanto, no da un número trascendental tangible. Esta observación no está justificada. Si establecemos una lista definida de todos los elementos algebraicos números ... y luego aplicamos el procedimiento diagonal ..., obtenemos un número trascendental perfectamente definido (podría calcularse con cualquier número de decimales) ".^{[33] [J]}La prueba de Cantor no solo es constructiva, también es más simple que la prueba de Perron, que requiere el desvío de probar primero que el conjunto de todos los reales es incontable. ^[34]

El argumento diagonal de Cantor ha reemplazado a menudo su construcción de 1874 en exposiciones de su demostración. El argumento diagonal es constructivo y produce un programa de computadora más eficiente que su construcción de 1874. Utilizándolo, se ha escrito un programa de computadora que calcula los dígitos de un número trascendental en tiempo polinomial . El programa que usa la construcción de Cantor de 1874 requiere al menos un tiempo sub-exponencial . ^{[35] [K]}

La presentación de la prueba no constructiva sin mencionar la prueba constructiva de Cantor aparece en algunos libros que tuvieron bastante éxito medido por la cantidad de tiempo que aparecieron nuevas ediciones o reimpresiones, por ejemplo: Irrationalzahlen de Oskar Perron (1921; 1960, cuarta edición), Eric Temple Bell's Men of Mathematics (1937; aún en reimpresión), Godfrey Hardy y EM Wright's An Introduction to the Theory of Numbers (1938; 2008 6th edition), Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane's A Survey of Modern Algebra (1941; 1997 5th edition) ) y Cálculo de Michael Spivak (1967; 4ª edición de 2008).^{[36] [L]} Desde 2014, han aparecido al menos dos libros que afirman que la prueba de Cantor es constructiva, ^[37] y al menos cuatro han aparecido afirmando que su prueba no construye ninguna (o una sola) trascendental. ^[38]

Afirmar que Cantor dio un argumento no constructivo sin mencionar la prueba constructiva que publicó puede conducir a afirmaciones erróneas sobre la historia de las matemáticas . En A Survey of Modern Algebra, Birkhoff y Mac Lane afirman: "El argumento de Cantor para este resultado [No todos los números reales son algebraicos] fue rechazado al principio por muchos matemáticos, ya que no exhibía ningún número trascendental específico". ^[39] La prueba que Cantor publicó produce números trascendentales, y no parece haber evidencia de que su argumento fuera rechazado. Incluso Leopold Kronecker , que tenía opiniones estrictas sobre lo que es aceptable en matemáticas y que podría haber retrasado la publicación del artículo de Cantor, no lo retrasó. ^[4]De hecho, aplicar la construcción de Cantor a la secuencia de números algebraicos reales produce un proceso limitante que Kronecker aceptó, es decir, determina un número con cualquier grado de precisión requerido. ^[METRO]

La influencia de Weierstrass y Kronecker en el artículo de Cantor

Karl Weierstrass

Leopold Kronecker, 1865

Los historiadores de las matemáticas han descubierto los siguientes hechos sobre el artículo de Cantor "Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales":

• El teorema de incontabilidad de Cantor quedó fuera del artículo que presentó. Lo agregó durante la revisión . ^[43]
• El título del artículo se refiere al conjunto de números algebraicos reales. El tema principal de la correspondencia de Cantor fue el conjunto de números reales. ^[44]
• La prueba del segundo teorema de Cantor provino de Dedekind. Sin embargo, omite la explicación de Dedekind de por qué existen los límites a _∞ y b _∞ . ^[45]
• Cantor restringió su primer teorema al conjunto de números algebraicos reales. La prueba que estaba usando demuestra la contabilidad del conjunto de todos los números algebraicos. ^[20]

Para explicar estos hechos, los historiadores han señalado la influencia de los antiguos profesores de Cantor, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker. Cantor discutió sus resultados con Weierstrass el 23 de diciembre de 1873. ^[46] Weierstrass se asombró primero con el concepto de contabilidad, pero luego encontró útil la contabilidad del conjunto de números algebraicos reales. ^[47] Cantor no quería publicar todavía, pero Weierstrass sintió que debía publicar al menos sus resultados sobre los números algebraicos. ^[46]

De su correspondencia, parece que Cantor solo discutió su artículo con Weierstrass. Sin embargo, Cantor le dijo a Dedekind: "La restricción que he impuesto a la versión publicada de mis investigaciones es causada en parte por circunstancias locales ..." ^{[46] El} biógrafo de Cantor Joseph Dauben cree que "circunstancias locales" se refiere a Kronecker quien, como miembro del consejo editorial de Crelle's Journal , había retrasado la publicación de un artículo de 1870 de Eduard Heine , uno de los colegas de Cantor. Cantor enviaría su artículo al Crelle's Journal . ^[48]

Weierstrass le aconsejó a Cantor que dejara su teorema de incontables fuera del artículo que presentó, pero Weierstrass también le dijo a Cantor que podía agregarlo como una nota marginal durante la corrección de pruebas, lo cual hizo. ^[43] Aparece en un comentario al final de la introducción del artículo . Las opiniones de Kronecker y Weierstrass jugaron un papel aquí. Kronecker no aceptaba conjuntos infinitos, y parece que Weierstrass no aceptaba que dos conjuntos infinitos pudieran ser tan diferentes, siendo uno contable y el otro no. ^[49] Weierstrass cambió de opinión más tarde. ^[50]Sin el teorema de la incontabilidad, el artículo necesitaba un título que no se refiriera a este teorema. Cantor eligió "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales"), que se refiere a la contabilidad del conjunto de números algebraicos reales, resultado que Weierstrass consideró útil. ^[51]

La influencia de Kronecker aparece en la demostración del segundo teorema de Cantor. Cantor usó la versión de Dedekind de la demostración, excepto que omitió por qué existen los límites a _∞  = lim _{n  → ∞}  a _n y b _∞  = lim _{n  → ∞}  b _n . Dedekind había utilizado su "principio de continuidad" para demostrar que existen. Este principio (que es equivalente a la propiedad del límite superior mínimo de los números reales) proviene de la construcción de Dedekind de los números reales, una construcción que Kronecker no aceptó. ^[52]

Cantor restringió su primer teorema al conjunto de números algebraicos reales a pesar de que Dedekind le había enviado una prueba que manejaba todos los números algebraicos. ^[20] Cantor hizo esto por razones expositivas y debido a "circunstancias locales". ^[53] Esta restricción simplifica el artículo porque el segundo teorema funciona con secuencias reales. Por tanto, la construcción del segundo teorema puede aplicarse directamente a la enumeración de los números algebraicos reales para producir "un procedimiento eficaz para el cálculo de números trascendentales". Este procedimiento sería aceptable para Weierstrass. ^[54]

Contribuciones de Dedekind al artículo de Cantor

Richard Dedekind,     c. 1870

Desde 1856, Dedekind había desarrollado teorías que involucraban infinitos conjuntos infinitos, por ejemplo: ideales , que usó en la teoría algebraica de números , y cortes de Dedekind , que usó para construir los números reales. Este trabajo le permitió comprender y contribuir al trabajo de Cantor. ^[55]

La primera contribución de Dedekind se refiere al teorema de que el conjunto de números algebraicos reales es contable. A Cantor se le suele atribuir este teorema, pero el historiador matemático José Ferreirós lo llama "teorema de Dedekind". Su correspondencia revela lo que cada matemático contribuyó al teorema. ^[56]

En su carta que presenta el concepto de contabilidad, Cantor declaró sin pruebas que el conjunto de números racionales positivos es contable, al igual que los conjuntos de la forma ( a _{n 1 ,  n 2 , ...,  n ν} ) donde n ₁ ,  n ₂ , ...,  n _ν y ν son números enteros positivos. ^[57] El segundo resultado de Cantor usa una familia indexada de números: un conjunto de la forma ( a _{n 1 ,  n 2 , ...,  n ν} ) es el rango de una función de νíndices al conjunto de números reales. Su segundo resultado implica el primero: sea ν  = 2 y a _{n 1 ,  n 2}  = n ₁/n ₂. La función puede ser bastante general, por ejemplo, a _{n 1 ,  n 2 ,  n 3 ,  n 4 ,  n 5}  = (n ₁/n ₂)^{1/n ₃} +  bronceado (n ₄/n ₅).

Dedekind respondió con una prueba del teorema de que el conjunto de todos los números algebraicos es contable. ^[20] En su respuesta a Dedekind, Cantor no afirmó haber probado el resultado de Dedekind. Indicó cómo demostró su teorema sobre las familias indexadas de números: "Tu prueba de que ( n ) [el conjunto de enteros positivos] puede correlacionarse uno a uno con el campo de todos los números algebraicos es aproximadamente la misma que Demuestro mi afirmación en la última letra. Tomo n ₁ ²  +  n ₂ ²  + ··· +  n _ν ²  =  y ordeno los elementos en consecuencia ". ^[58]${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$Sin embargo, el orden de Cantor es más débil que el de Dedekind y no se puede extender a tuplas de enteros que incluyen ceros. ^[59]${\displaystyle n}$

La segunda contribución de Dedekind es su demostración del segundo teorema de Cantor. Dedekind envió esta prueba en respuesta a la carta de Cantor que contenía el teorema de incontablecimiento, que Cantor demostró usando infinitas secuencias. Cantor escribió a continuación que había encontrado una prueba más simple que no usaba infinitas secuencias. ^[60] Por tanto, Cantor tuvo una selección de pruebas y decidió publicar la de Dedekind. ^[61]

Cantor agradeció en privado a Dedekind por su ayuda: "... sus comentarios (que valoro mucho) y su manera de exponer algunos de los puntos fueron de gran ayuda para mí". ^[46] Sin embargo, no mencionó la ayuda de Dedekind en su artículo. En artículos anteriores, había reconocido la ayuda recibida de Kronecker, Weierstrass, Heine y Hermann Schwarz . El hecho de que Cantor no mencionara las contribuciones de Dedekind dañó su relación con Dedekind. Dedekind dejó de responder a sus cartas y no reanudó la correspondencia hasta octubre de 1876. ^{[62] [N]}

El legado del artículo de Cantor

El artículo de Cantor introdujo el teorema de incontables y el concepto de contabilidad. Ambos conducirían a desarrollos significativos en matemáticas. El teorema de incontabilidad demostró que las correspondencias uno a uno se pueden utilizar para analizar conjuntos infinitos. En 1878, Cantor los utilizó para definir y comparar cardinalidades. También construyó uno-a-uno correspondencias para demostrar que los n -dimensional espacios de R ⁿ (donde R es el conjunto de números reales) y el conjunto de los números irracionales tienen la misma cardinalidad que R . ^{[63] [O]}

En 1883, Cantor amplió los números enteros positivos con sus infinitos ordinales . Esta extensión fue necesaria para su trabajo sobre el teorema de Cantor-Bendixson . Cantor descubrió otros usos para los ordinales; por ejemplo, usó conjuntos de ordinales para producir una infinidad de conjuntos que tienen diferentes cardinalidades infinitas. ^[65] Su trabajo sobre conjuntos infinitos junto con el trabajo teórico de conjuntos de Dedekind creó la teoría de conjuntos. ^[66]

El concepto de contabilidad dio lugar a operaciones y objetos contables que se utilizan en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en 1878, Cantor introdujo uniones contables de conjuntos. ^[67] En la década de 1890, Émile Borel usó uniones contables en su teoría de la medida , y René Baire usó ordinales contables para definir sus clases de funciones . ^[68] Sobre la base del trabajo de Borel y Baire, Henri Lebesgue creó sus teorías de la medida y la integración , que se publicaron entre 1899 y 1901. ^[69]

Los modelos contables se utilizan en la teoría de conjuntos. En 1922, Thoralf Skolem demostró que si los axiomas convencionales de la teoría de conjuntos son consistentes , entonces tienen un modelo contable. Dado que este modelo es contable, su conjunto de números reales es contable. Esta consecuencia se llama paradoja de Skolem , y Skolem explicó por qué no contradice el teorema de incontables de Cantor: aunque hay una correspondencia uno a uno entre este conjunto y el conjunto de enteros positivos, tal correspondencia uno a uno no es un miembro. del modelo. Así, el modelo considera que su conjunto de números reales es incontable, o más precisamente, la oración de primer ordenque dice que el conjunto de números reales es incontable es cierto dentro del modelo. ^[70] En 1963, Paul Cohen utilizó modelos contables para probar sus teoremas de independencia . ^[71]

Ver también

• Teorema de cantor

Notas

1. En una carta a Dedekind fechada el 25 de diciembre de 1873, Cantor afirma que ha escrito y presentado "un breve artículo" titulado Sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos reales . ( Noether & Cavaillès 1937 , p. 17; traducción al inglés: Ewald 1996 , p. 847.)
2. Esto implica el resto del teorema , es decir, hay infinitos números en [ a ,  b ] que no están contenidos en la secuencia dada. Por ejemplo,sea ​​el intervalo y considere sus subintervalos. Dado que estos subintervalos son disjuntos por pares , la aplicación de la primera parte del teorema a cada subintervalo produce una cantidad infinita de númerosque no están contenidos en la secuencia dada. En general, para el intervaloaplicar la primera parte del teorema a los subintervalos${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,{\tfrac {1}{2}}],}$ ${\displaystyle [{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],}$ ${\displaystyle [{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],}$ ${\displaystyle \ldots .}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle [a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],}$ ${\displaystyle [a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],}$ ${\displaystyle [a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],}$ ${\displaystyle \ldots .}$
3. Cantor no prueba este lema. En una nota al pie para el caso 2, afirma que x _n no se encuentra en el interior del intervalo [ a _n ,  b _n ]. ^[11] Esta prueba proviene de su prueba de 1879 , que contiene una prueba inductiva más compleja que demuestra varias propiedades de los intervalos generados, incluida la propiedad probada aquí.
4. La principal diferencia entre la prueba de Cantor y la prueba anterior es que genera la secuencia de intervalos cerrados [ a _n ,  b _n ]. Para encontrar a _{n  + 1} y b _{n  + 1} , usa el interior del intervalo [ a _n ,  b _n ], que es el intervalo abierto ( a _n ,  b _n ). La generación de intervalos abiertos combina el uso de Cantor de intervalos cerrados y sus interiores, lo que permite que los diagramas de casos representen todos los detalles de la prueba.
5. Cantor no fue el primero en definir "denso en todas partes", pero su terminología se adoptó con o sin "en todas partes" (denso en todas partes: Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 , p. 15; denso: Kelley 1991 , p. 49). En 1870, Hermann Hankel había definido este concepto utilizando una terminología diferente: "una multitud de puntos ... llenan el segmento si no se puede dar ningún intervalo, por pequeño que sea, dentro del segmento en el que no se encuentra al menos un punto de esa multitud" ( Ferreirós 2007 , pág.155). Hankel se basaba en elartículo de 1829 de Peter Gustav Lejeune Dirichlet que contiene la función de Dirichlet , una no- ( Riemann )función integrable cuyo valor es 0 para números racionales y 1 para números irracionales . ( Ferreirós 2007 , p. 149.)
6. Traducido de Cantor 1879 , p. 2: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (... Α β), de modo kann der bemerkenswerthe caída eintreten, dass jedes noch así Kleine en (... Α β) enthaltene Intervall (... Γ δ) Punkte von P enthält . En einem solchen Falle wollen wir sagen, dass P im Intervalle (α... Β) überall-dicht sei.
7. Esto se demuestra generando una secuencia de puntos que pertenecen tanto a P como a ( c ,  d ). Desde P es denso en [ un ,  b ], el subintervalo ( c ,  d ) contiene al menos un punto x ₁ de P . Por supuesto, el subintervalo ( x ₁ ,  d ) contiene al menos un punto x ₂ de P y x ₂  >  x ₁ ya que x ₂pertenece a este subintervalo. En general, después de generar x _n , el subintervalo (x _n ,  d ) se usa para generar un punto x _{n  + 1 que} satisfaga x _{n  + 1}  >  x _n . Los infinitos puntos x _n pertenecen tanto a P como a ( c ,  d ).
8. El comienzo de esta prueba se deriva de la siguiente prueba al restringir sus números al intervalo [ a ,  b ] y al usar una subsecuencia, ya que Cantor estaba usando secuencias en su trabajo de 1873 sobre la contabilidad.
   Texto en alemán: Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen.
   Gäbe es nämlich keine transzendenten Zahlen, so wären alle Zahlen algebraisch, das Kontinuum también identisch mit der Menge aller algebraischen Zahlen. Das ist aber unmöglich, weil die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist, das Kontinuum aber nicht. ^[28]
   Traducción: Teorema 68. Hay números trascendentales.
   Si no hubiera números trascendentales, entonces todos los números serían algebraicos. Por lo tanto, el continuosería idéntico al conjunto de todos los números algebraicos. Sin embargo, esto es imposible porque el conjunto de todos los números algebraicos es contable, pero el continuo no lo es.
9. Por "prueba de Cantor", Perron no quiere decir que sea una prueba publicada por Cantor. Más bien, quiere decir que la prueba solo usa argumentos que Cantor publicó. Por ejemplo, para obtener un no real en una secuencia dada, Perron sigue la demostración de Cantor de 1874 excepto por una modificación: usa el argumento diagonal de Cantor de 1891 en lugar de su argumento de intervalos anidados de 1874 para obtener un real. Cantor nunca usó su argumento diagonal para reprobar su teorema. En este caso, tanto la prueba de Cantor como la de Perron son constructivas, por lo que no puede surgir ningún error aquí. Entonces, Perron modifica la prueba de Cantor de la existencia de un trascendental dando la prueba de orden inverso. Esto convierte la prueba constructiva de Cantor de 1874 en una prueba no constructiva que conduce a la idea errónea sobre el trabajo de Cantor.
10. Esta prueba es la misma que la de Cantor de 1874 excepto por una modificación: usa su argumento diagonal de 1891 en lugar de su argumento de intervalos anidados de 1874 para obtener un real.
11. El programa que usa el método diagonal producedígitos enpasos, mientras que el programa que usa el método 1874 requiere al menospasos para producirdígitos. ( Gray 1994 , págs. 822–823.)${\displaystyle n}$ O ( n 2 log 2 ⁡ n log ⁡ log ⁡ n ) {\displaystyle {\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)} ${\displaystyle O(2^{\sqrt[{3}]{n}})}$${\displaystyle n}$
12. A partir del libro de Hardy y Wright, estos libros están vinculados al libro de Perron a través de sus bibliografías: el libro de Perron se menciona en la bibliografía del libro de Hardy y Wright, que a su vez se menciona en la bibliografía del libro de Birkhoff y Mac Lane y en la bibliografía. del libro de Spivak. ( Hardy y Wright 1938 , p. 400; Birkhoff y Mac Lane 1941 , p. 441; Spivak 1967 , p. 515.)
13. La opinión de Kronecker fue: "Las definiciones deben contener los medios para llegar a una decisión en un número finito de pasos, y las pruebas de existencia deben realizarse de manera que la cantidad en cuestión pueda calcularse con el grado de precisión requerido". ^[40] Así que Kronecker aceptaría el argumento de Cantor como una prueba de existencia válida, pero no aceptaría su conclusión de que existen números trascendentales. Para Kronecker, no existen porque su definición no contiene ningún medio para decidir en un número finito de pasos si un número dado es trascendental o no. ^[41] La construcción de Cantor de 1874 calcula números con cualquier grado de precisión requerido porque: Dado a k , an n se puede calcular de manera que b _n- una _n ≤1/kdonde ( a _n ,  b _n ) es el n -ésimo intervalo de la construcción de Cantor. Un ejemplo de cómo probar esto se da en Gray 1994 , p. 822. El argumento diagonal de Cantor proporciona una precisión de 10 ^{- n} después de que se hayan calculado n números algebraicos reales porque cada uno de estos números genera un dígito del número trascendental. ^[42]
14. Ferreirós ha analizado las relaciones entre Cantor y Dedekind. Explica por qué "las relaciones entre ambos matemáticos fueron difíciles a partir de 1874, cuando sufrieron una interrupción ..." ( Ferreirós 1993 , pp. 344, 348-352).
15. Método de construcción de una correspondencia de uno a uno entre el conjunto de números irracionales y de Cantor R se puede utilizar para construir una entre el conjunto de los números trascendentales y R . ^[64] La construcción comienza con el conjunto de números trascendentales T y elimina un subconjunto contable{ t _n } (por ejemplo, t _n =mi/norte). Sea este conjunto T ₀ . Entonces T  =   T ₀  ∪ { t _n } = T ₀  ∪ { t _{2 n - 1} } ∪ { t _{2 n} }, y R  =  T  ∪ { a _n } = T ₀  ∪ { t _n } ∪ { a _n } donde a _n es la secuencia de números algebraicos reales. Entonces, tanto T como R son la unión de tres conjuntos disjuntos por pares: T ₀y dos conjuntos contables. Una correspondencia biunívoca entre T y R viene dada por la función: g ( t ) = t si t  ∈  T ₀ , g ( t _{2 n - 1} ) = t _n , y g ( t _{2 n} ) = a _n .

Nota sobre la prueba de Cantor de 1879

1. Dado que la demostración de Cantor no se ha publicado en inglés, se proporciona una traducción al inglés junto con el texto original en alemán, que es de Cantor 1879 , págs. 5-7. La traducción comienza una oración antes de la prueba porque esta oración menciona la prueba de Cantor de 1874. Cantor afirma que se imprimió en Borchardt's Journal. Crelle's Journal también se llamó Borchardt's Journal desde 1856-1880 cuando Carl Wilhelm Borchardt editó la revista ( Audin 2011 , p. 80). Los corchetes se utilizan para identificar esta mención de la prueba anterior de Cantor, para aclarar la traducción y para proporcionar números de página. Además, " Mannichfaltigkeit"(múltiple) se ha traducido a" conjunto "y la notación de Cantor para conjuntos cerrados (α... β) se ha traducido a [α, β]. Cantor cambió su terminología de Mannichfaltigkeit a Menge (conjunto) en su artículo de 1883, que introdujo conjuntos de números ordinales ( Kanamori 2012 , p. 5) Actualmente, en matemáticas, una variedad es un tipo de espacio topológico .

   Traducción en inglés	Texto en alemán
   [Página 5]  . . . Pero esto contradice un teorema muy general, que hemos demostrado con total rigor en el Journal de Borchardt, vol. 77, página 260; es decir, el siguiente teorema: "Si uno tiene una secuencia infinita [contable] simple ω 1 , ω 2 ,..., ω ν ,... de números reales, desiguales que proceden de acuerdo con alguna regla, entonces en cada intervalo dado [α, β] se puede especificar un número η (y por lo tanto infinitos de ellos) que no ocurre en esta secuencia (como miembro de ella) ".                         En vista del gran interés en este teorema, no solo en la presente discusión, sino también en muchas otras relaciones aritméticas y analíticas, podría no ser superfluo si desarrollamos el argumento seguido allí [la demostración de Cantor de 1874] más claramente aquí por utilizando modificaciones simplificadoras.      A partir de la secuencia:             ω 1 , ω 2 ,. . . , Omega nu ,. . . (que damos [denotar por] el símbolo (ω)) y un intervalo arbitrario [α, β], donde α <β, ahora demostraremos que en este intervalo se puede encontrar un número real η que no ocurre en ( ω).      I. Primero notamos que si nuestro conjunto (ω) no es denso en todas partes en el intervalo [α, β], entonces dentro de este intervalo debe estar presente otro intervalo [γ, δ], cuyos números no pertenecen a (ω ). A partir del intervalo [γ, δ], se puede elegir cualquier número para η. Se encuentra en el intervalo [α, β] y definitivamente no ocurre en nuestra secuencia (ω). Por tanto, este caso no presenta consideraciones especiales y podemos pasar al caso más difícil .      II. Sea el conjunto (ω) denso en todas partes en el intervalo [α, β]. En este caso, cada intervalo [γ, δ] ubicado en [α, β], por pequeño que sea, contiene números de nuestra secuencia (ω). Para mostrar que, sin embargo, existen números η en el intervalo [α, β] que no ocurren en (ω), empleamos la siguiente observación.      Debido a que algunos números en nuestra secuencia:             ω 1 , ω 2 ,. . . , Omega nu ,. . .	[Seite 5]  . . . Dem widerspricht aber ein sehr allgemeiner Satz, welchen wir en Borchardt's Journal, Bd. 77, pág. 260, mit aller Strenge bewiesen haben, nämlich der folgende Satz:      "Hat man eine einfach unendliche Reihe              ω 1 , ω 2 ,..., Ω ν ,... Von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α... Β ) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt. "      En Anbetracht des grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfte es nicht überflorsgirung se , unter Anwendung vereinfachender Modificationen, hier deutlicher entwickeln.      Unter Zugrundelegung der Reihe:             ω 1 , ω 2 ,. . . , Omega nu ,. . . (welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines beliebigen Intervalles (α... β), wo α <β ist, soll also nun gezeigt werden, dass in diesem Intervalle eine reelle Zahl η gefunden werden kann, welche in (ω ) nicht vorkommt.      I. Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) in dem Intervall (α... Β) nicht überall-dicht ist, innerhalb dieses Intervalles ein anderes (γ... Δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen nichämm sichämm (ω) gehören; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ... δ) wählen, sie liegt im Intervalle (α... β) und kommt sicher in unsrer Reihe (ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände; und wir können zu dem schwierigeren übergehen.      II. Die Mannichfaltigkeit (ω) sei im Intervalle (α... Β) überall-dicht . En diesem Falle entusiasmo jedes, noch so kleine en (α... Β) gelegene Intervall (γ... Δ) Zahlen unserer Reihe (ω). Um zu zeigen, dass nichtsdestoweniger Zahlen η im Intervalle (α... Β) existiren, welche in (ω) nicht vorkommen, stellen wir die folgende Betrachtung an.      Da in unserer Reihe:             ω 1 , w 2 ,. . . , Omega nu ,. . .
   [Página 6] Definitivamente ocurren dentro del intervalo [α, β], uno de estos números debe tener el menor índice, sea ​​ω κ 1 , y otro: ω κ 2 con el siguiente índice más grande.      Sea α ' el menor de los dos números ω κ 1 , ω κ 2 , y β' el mayor. (Su igualdad es imposible porque asumimos que nuestra secuencia no consta más que de números desiguales).      Entonces según la definición:             α <α '<β' <β  , además:                  κ 1  <κ 2  ; y todos los números ω μ de nuestra secuencia, para los cuales μ ≤ κ 2 , no se encuentran en el interior del intervalo [α ', β'], como se desprende inmediatamente de la definición de los números κ 1 , κ 2 . De manera similar, sean ω κ 3 y ω κ 4 los dos números de nuestra secuencia con índices más pequeños que caen en el interior del intervalo [α ', β'] y que el menor de los números ω κ 3 , ω κ 4 denotarse por α '', el mayor por β ''.      Entonces uno tiene:             α '<α' '<β' '<β'  ,               κ 2  <κ 3  <κ 4  ; y se ve que todos los números ω μ de nuestra secuencia, para los cuales μ ≤ κ 4 , no caen en el interior del intervalo [α '', β ''].      Después de que uno ha seguido esta regla para alcanzar un intervalo [α (ν - 1) , β (ν - 1) ] , el siguiente intervalo se produce seleccionando los dos primeros números (es decir, con los índices más bajos) de nuestra secuencia (ω) ( sean ω κ 2ν - 1 y ω κ 2ν ) que caen en el interior de [α (ν - 1) , β (ν - 1) ] . Dejemos que el menor de estos dos números se denote por α (ν) , el mayor por β (ν) .      El intervalo [α (ν) , β (ν) ] se encuentra entonces en el interior de todos los intervalos precedentes y tiene la relación específica con nuestra secuencia (ω) que todos los números ω μ , para los cuales μ ≤ κ 2ν , definitivamente no mienten en su interior . Dado que obviamente: κ 1 <κ 2 <κ 3 <. . . , Omega kappa 2ν - 2 <omega kappa 2ν - 1 <omega kappa 2ν ,. . . y estos números, como índices, son números enteros , entonces: κ 2ν  ≥ 2ν ,                             y por tanto:             ν <κ 2ν  ; por lo tanto, ciertamente podemos decir (y esto es suficiente para lo siguiente):      Que si ν es un número entero arbitrario, la cantidad [real] ω ν se encuentra fuera del intervalo [α (ν)  . . . β (ν) ].	[Seite 6] sicher Zahlen innerhalb des Intervalls (α... Β) vorkommen, so muss eine von diesen Zahlen den kleinsten Index haben, sie sei ω κ 1 , und eine andere: ω κ 2 mit dem nächst grösseren Index behaftet sein.      Die kleinere der beiden Zahlen ω κ 1 , ω κ 2 werde mit α ', die grössere mit β' bezeichnet. (Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.)      Es ist alsdann der Definición nach:             α <α '<β' <β  , ferner:                  κ 1  <κ 2  ; und ausserdem ist zu bemerken, dass alle Zahlen ω μ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ 2 , nicht im Innern des Intervalls (α '... β') liegen, wie aus der Bestimmung der Zahlen κ 1 , κ 2 sofort erhellt . Ganz ebenso mögen ω κ 3 , ω κ 4 die beiden mit den kleinsten Índices versehenen Zahlen unserer Reihen [ver nota 1 más abajo] sein, welche in das Innere des Intervalls (α '... Β') fallen und die kleinere der Zahlen ω κ3 , ω κ 4 werde mit α '', die grössere mit β '' bezeichnet.      Man hat alsdann:             α '<α' '<β' '<β'  ,               κ 2  <κ 3  <κ 4  ; und man erkennt, dass alle Zahlen ω μ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ 4 nicht in das Innere des Intervalls (α ''... β '') caído.      Nachdem man unter Befolgung des gleichen Gesetzes zu einem Intervall (α (ν - 1) ,... Β (ν - 1) ) gelangt ist, ergiebt sich das folgende Intervall dadurch aus demselben, dass man die beiden ersten (dh mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ω κ 2ν - 1 und ω κ 2ν ), welche in das Innere von (α (ν - 1) ... β (ν - 1) ) caído; die kleinere dieser beiden Zahlen werde mit α (ν) , die grössere mit β (ν) bezeichnet.      Das Intervall (α (ν)  ... Β (ν) ) liegt alsdann im Innern aller vorangegangenen Intervalle und hat zu unserer Reihe (ω) die eigenthümliche Beziehung, dass alle Zahlen ω μ , für welche μ ≤ κ 2ν sichermicht in seinem Liegen interior. Da offenbar: κ 1 <κ 2 <κ 3 <. . . , Omega kappa 2ν - 2 <omega kappa 2ν - 1 <omega kappa 2ν ,. . .               und diese Zahlen, als Indices, ganze Zahlen sind, así ist:             κ 2ν  ≥ 2ν  , und daher:             ν <κ 2ν  ; wir können daher, und dies ist für das Folgende ausreichend, gewiss sagen:      Dass, wenn ν eine beliebige ganze Zahl ist, die Grösse ω ν ausserhalb des Intervalls (α (ν)  ... Β (ν) ) liegt.
   [Página 7]      Dado que los números α ', α' ', α' '',. . ., Α (ν) ,. . . están aumentando continuamente por valor mientras que simultáneamente están encerrados en el intervalo [α, β], tienen, por un teorema fundamental bien conocido de la teoría de magnitudes [ver nota 2 a continuación], un límite que denotamos por A, de modo que : A = Lim α (ν) para ν = ∞.                   Lo mismo se aplica a los números β ', β' ', β' '',. . ., Β (ν) ,. . ., que son continuamente decrecientes y también se encuentran en el intervalo [α, β]. Llamamos a su límite B, de modo que: B = Lim β (ν) para ν = ∞.                   Obviamente, uno tiene: α (ν) <A ≤ B <β (ν) .                   Pero es fácil ver que el caso A <B no puede ocurrir aquí, ya que de lo contrario cada número ω ν de nuestra secuencia estaría fuera del intervalo [A, B] al estar fuera del intervalo [α (ν) , β (ν ) ]. Entonces nuestra secuencia (ω) no sería densa en todas partes en el intervalo [α, β], contrariamente a la suposición.      Por lo tanto, sólo queda el caso A = B y ahora se demuestra que el número:             η = A = B no no se producen en nuestra secuencia (ω).      Si fuera un miembro de nuestra secuencia, como el ν- ésimo , entonces uno tendría: η = ω ν .      Pero la última ecuación no es posible para ningún valor de ν porque η está en el interior del intervalo [α (ν) , β (ν) ], pero ω ν está fuera de él.	[Página 7]      Da die Zahlen α ', α' ', α' '',. . ., Α (ν) ,. . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen, dabei jedoch im Intervalle (α... β) eingeschlossen sind, so haben sie, nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre, eine Grenze, die wir mit A bezeichnen, so dass: A = Lim α (ν) para ν = ∞.                   Ein Gleiches dorado für die Zahlen β ', β' ', β' '',. . ., Β (ν) ,. . . welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α... β) liegen; wir nennen ihre Grenze B, entonces dass: B = Lim β (ν) für ν = ∞.                   Sombrero de hombre sin barra: α (ν) <A ≤ B <β (ν) .                   Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A <B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω ν , unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A... B) liegen würde, indem ω ν , ausserhalb des Intervalls (α (ν) ... β (ν) ) gelegen ist; unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α... β) nicht überalldicht, gegen die Voraussetzung.      Es bleibt daher nur der Fall A = B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl: η = A = B in unserer Reihe (ω) nicht vorkommt.                   Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das ν te , so hätte man: η = ω ν .      Die letztere Gleichung ist aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern des Intervalls [α (ν) , β (ν) ], ω ν aber ausserhalb desselben liegt.
   Nota 1: Esta es la única aparición de " unserer Reihen " ("nuestras secuencias") en la prueba. Solo hay una secuencia involucrada en la demostración de Cantor y en todos los demás lugares se usa " Reihe " ("secuencia"), por lo que lo más probable es que sea un error tipográfico y debería ser " unserer Reihe " ("nuestra secuencia"), que es la forma en que tiene sido traducido. Nota 2: Grössenlehre , que se ha traducido como "la teoría de magnitudes", es un término utilizado por los matemáticos alemanes del siglo XIX que se refiere a la teoría de magnitudes discretas y continuas . ( Ferreirós 2007 , págs. 41–42, 202.)

Referencias

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