Medir (matemáticas)

Generalization of length, area, volume and integral

Para conocer el concepto coalgebraico, consulte Medición de coalgebra .

No confundir con métrico (matemáticas) .

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De manera informal, una medida tiene la propiedad de ser monótona en el sentido de que si A es un subconjunto de B , la medida de A es menor que o igual a la medida de B . Además, se requiere que la medida del conjunto vacío sea ​​0.

En matemáticas , una medida en un conjunto es una forma sistemática de asignar un número, interpretado intuitivamente como su tamaño, a algunos subconjuntos de ese conjunto, llamados conjuntos medibles . En este sentido, una medida es una generalización de los conceptos de longitud, área y volumen. Un ejemplo particularmente importante es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano , que asigna la longitud , el área o el volumen habituales a subconjuntos de espacios euclidianos, para los cuales se define. Por ejemplo, la medida de Lebesgue de un intervalo de números reales es su longitud habitual.

Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no negativo o + ∞ a (ciertos) subconjuntos de un conjunto X ( ver § Definición , más abajo). Una medida debe ser además contablemente aditiva : si un subconjunto 'grande' se puede descomponer en un número finito (o numerablemente infinito ) de subconjuntos disjuntos 'más pequeños' que son medibles, entonces el subconjunto 'grande' es medible , y su medida es la suma (posiblemente infinita) de las medidas de los subconjuntos "más pequeños".

En general, si se quiere asociar un tamaño consistente a todos los subconjuntos de un conjunto dado, mientras se satisfacen los otros axiomas de una medida, solo se encuentran ejemplos triviales como la medida de contar . Este problema se resolvió definiendo la medida solo en una subcolección de todos los subconjuntos; los llamados subconjuntos medibles , que se requieren para formar un σ -álgebra . Esto significa que las uniones contables , las intersecciones contables y los complementos de subconjuntos medibles son medibles. Conjuntos no mediblesen un espacio euclidiano, en el que la medida de Lebesgue no puede definirse de manera coherente, son necesariamente complicadas en el sentido de estar mal mezcladas con su complemento. ^[1] De hecho, su existencia es una consecuencia no trivial del axioma de elección .

La teoría de la medida fue desarrollada en etapas sucesivas durante finales del siglo XIX y principios del XX por Émile Borel , Henri Lebesgue , Johann Radon y Maurice Fréchet , entre otros. Las principales aplicaciones de las medidas se encuentran en los fundamentos de la integral de Lebesgue , en la axiomatización de la teoría de la probabilidad de Andrey Kolmogorov y en la teoría ergódica . En la teoría de la integración, especificar una medida permite definir integralesen espacios más generales que subconjuntos del espacio euclidiano; además, la integral con respecto a la medida de Lebesgue en espacios euclidianos es más general y tiene una teoría más rica que su predecesora, la integral de Riemann . La teoría de la probabilidad considera medidas que asignan al conjunto completo el tamaño 1, y considera que los subconjuntos medibles son eventos cuya probabilidad viene dada por la medida. La teoría ergódica considera medidas que son invariantes bajo, o surgen naturalmente de, un sistema dinámico .

Definición

Aditividad contable de una medida μ : La medida de una unión disjunta contable es la misma que la suma de todas las medidas de cada subconjunto.

Deje que X sea un set y Σ una σ -álgebra sobre X . Una función μ de Σ a la recta numérica real extendida se llama medida si satisface las siguientes propiedades:

• No negatividad : Para todo E en Σ, tenemos μ ( E ) ≥ 0 .
• NULL vaciar conjunto : .${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• Aditividad contable (o aditividad σ ): Para todas las colecciones contables de conjuntos disjuntos por pares en Σ,${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \mu \left(\bigsqcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).}$

Si al menos un conjunto tiene medida finita, entonces el requisito se cumple automáticamente. De hecho, por aditividad contable,${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$

${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),}$

y por lo tanto ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

Si solo se cumplen las condiciones segunda y tercera de la definición de medida anterior, y μ toma como máximo uno de los valores ± ∞ , entonces μ se denomina medida con signo .

El par ( X , Σ) se denomina espacio medible , los miembros de Σ se denominan conjuntos medibles . Si y son dos espacios medibles, entonces una función se llama medible si para cada Y conjunto medible , la imagen inversa es X -medible - es decir: . En esta configuración, la composición de las funciones medibles es medible, lo que convierte los espacios medibles y las funciones medibles en una categoría , con los espacios medibles como objetos y el conjunto de funciones medibles como flechas. Ver también${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$${\displaystyle \left(Y,\Sigma _{Y}\right)}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle B\in \Sigma _{Y}}$${\displaystyle f^{(-1)}(B)\in \Sigma _{X}}$Función medible # Variaciones de uso de términos sobre otra configuración.

Un triple ( X , Σ, μ ) se llama espacio de medida . Una medida de probabilidad es una medida con medida total uno, es decir, μ ( X ) = 1 . Un espacio de probabilidad es un espacio de medida con una medida de probabilidad.

Para los espacios de medida que también son espacios topológicos se pueden colocar varias condiciones de compatibilidad para la medida y la topología. La mayoría de las medidas que se encuentran en la práctica en el análisis (y en muchos casos también en la teoría de la probabilidad ) son medidas de radón . Las medidas de radón tienen una definición alternativa en términos de funcionales lineales en el espacio localmente convexo de funciones continuas con soporte compacto . Bourbaki (2004) y varias otras fuentes adoptan este enfoque . Para obtener más detalles, consulte el artículo sobre medidas de radón .

Instancias

Categoría principal: Medidas (teoría de la medida)

Aquí se enumeran algunas medidas importantes.

• La medida de recuento se define por μ ( S ) = número de elementos de S .
• La medida de Lebesgue en R es una medida invariante de traducción completa en un σ -álgebra que contiene los intervalos en R tales que μ ([0, 1]) = 1 ; y cualquier otra medida con estas propiedades amplía la medida de Lebesgue.
• La medida del ángulo circular es invariante bajo rotación y la medida del ángulo hiperbólico es invariante bajo el mapeo de compresión .
• La medida de Haar para un grupo topológico localmente compacto es una generalización de la medida de Lebesgue (y también de la medida de conteo y la medida de ángulo circular) y tiene propiedades de unicidad similares.
• La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue a conjuntos con dimensión no entera, en particular, conjuntos fractales.
• Todo espacio de probabilidad da lugar a una medida que toma el valor 1 en todo el espacio (y por lo tanto toma todos sus valores en el intervalo unitario [0, 1]). Esta medida se llama medida de probabilidad . Ver axiomas de probabilidad .
• La medida de Dirac δ _un (cf. función delta de Dirac ) viene dada por δ _un ( S ) = χ _S (a), donde χ _S es la función indicadora de S . La medida de un conjunto es 1 si contiene el punto a y 0 en caso contrario.

Otras medidas nombradas '' utilizados en diversas teorías incluyen: medida de Borel , medida Jordan , medida ergódica , medida Euler , medida de Gauss , medida Baire , medida de Radon , medida joven , y la medida de Loeb .

En física, un ejemplo de una medida es la distribución espacial de la masa (ver, por ejemplo, potencial de gravedad ), u otra propiedad extensiva no negativa , conservada (ver la ley de conservación para una lista de estas) o no. Los valores negativos conducen a medidas con signo, consulte "generalizaciones" a continuación.

• La medida de Liouville , conocida también como forma de volumen natural en una variedad simpléctica, es útil en la mecánica estadística clásica y hamiltoniana.
• La medida de Gibbs se usa ampliamente en mecánica estadística, a menudo bajo el nombre de conjunto canónico .

Propiedades básicas

Sea μ una medida.

Monotonicidad

Si E ₁ y E ₂ son conjuntos medibles con E ₁  ⊆  E ₂ entonces

${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).}$

Medida de uniones e intersecciones contables

Subaditividad

Para cualquier secuencia contable E ₁ , E ₂ , E ₃ , ... de conjuntos medibles (no necesariamente disjuntos) E _n en Σ:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$

Continuidad desde abajo

Si E ₁ , E ₂ , E ₃ , ... son conjuntos medibles y para todo n , entonces la unión de los conjuntos E _n es medible, y${\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1},}$

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$

Continuidad desde arriba

Si E ₁ , E ₂ , E ₃ , ... son conjuntos medibles y, para todo n , entonces la intersección de los conjuntos E _n es medible; además, si al menos uno de los E _n tiene medida finita, entonces${\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n},}$

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$

Esta propiedad es falsa sin la suposición de que al menos uno de los E _n tiene medida finita. Por ejemplo, para cada n ∈ N , sea E _n = [ n , ∞) ⊂ R , que todos tienen una medida de Lebesgue infinita, pero la intersección está vacía.

Otras propiedades

Integridad

Artículo principal: Medida completa

Un conjunto X medible se denomina conjunto nulo si μ ( X ) = 0 . Un subconjunto de un conjunto nulo se denomina conjunto insignificante . Un conjunto insignificante no necesita ser medible, pero todo conjunto insignificante mensurable es automáticamente un conjunto nulo. Una medida se llama completa si cada conjunto insignificante es medible.

Una medida puede extenderse a una completa considerando el σ-álgebra de subconjuntos Y que difieren en un conjunto insignificante de un conjunto medible X , es decir, tal que la diferencia simétrica de X e Y está contenida en un conjunto nulo. Uno define μ ( Y ) como igual a μ ( X ) .

Aditividad

Se requiere que las medidas sean contablemente aditivas. Sin embargo, la condición se puede fortalecer de la siguiente manera. Para cualquier conjunto y cualquier conjunto de definiciones no negativas :${\displaystyle I}$${\displaystyle r_{i},i\in I}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\aleph _{0},J\subseteq I\right\rbrace .}$

Es decir, definimos la suma de como el supremo de todas las sumas de un número finito de ellas.${\displaystyle r_{i}}$

Una medida de es -aditiva si para cualquier familia de disjuntos establece la siguiente retención:${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda <\kappa }$${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$

${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).}$

Tenga en cuenta que la segunda condición es equivalente a la afirmación de que el ideal de conjuntos nulos es -completo.${\displaystyle \kappa }$

Medidas sigma-finitas

Artículo principal: medida sigma-finita

Un espacio de medida ( X , Σ, μ ) se llama finito si μ ( X ) es un número real finito (en lugar de ∞). Las medidas finitas distintas de cero son análogas a las medidas de probabilidad en el sentido de que cualquier medida finita μ es proporcional a la medida de probabilidad . Una medida μ se llama σ-finita si X se puede descomponer en una unión contable de conjuntos mensurables de medida finita. De manera análoga, se dice que un conjunto en un espacio de medida tiene una medida σ-finita si es una unión contable de conjuntos con medida finita.${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu }$

Por ejemplo, los números reales con la medida estándar de Lebesgue son σ-finitos pero no finitos. Considere los intervalos cerrados [ k , k +1] para todos los enteros k ; hay innumerables intervalos de este tipo, cada uno tiene medida 1 y su unión es la línea real completa. Alternativamente, considere los números reales con la medida de conteo, que asigna a cada conjunto finito de reales el número de puntos del conjunto. Este espacio de medida no es σ-finito, porque cada conjunto con medida finita contiene sólo un número finito de puntos, y se necesitarían incontables conjuntos de este tipo para cubrir toda la línea real. Los espacios de medida σ-finitos tienen algunas propiedades muy convenientes; La σ-finitud se puede comparar a este respecto con la propiedad de Lindelöf de los espacios topológicos. También se pueden considerar como una vaga generalización de la idea de que un espacio de medida puede tener una "medida incontable".

s-medidas finitas

Artículo principal: s-medida finita

Se dice que una medida es s-finita si es una suma contable de medidas acotadas. Las medidas S-finitas son más generales que las sigma-finitas y tienen aplicaciones en la teoría de procesos estocásticos .

Conjuntos no medibles

Artículo principal: conjunto no medible

Si se supone que el axioma de elección es verdadero, se puede probar que no todos los subconjuntos del espacio euclidiano son medibles según Lebesgue ; ejemplos de tales conjuntos incluyen el conjunto Vitali y los conjuntos no medibles postulados por la paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski .

Generalizaciones

Para ciertos propósitos, es útil tener una "medida" cuyos valores no estén restringidos a los reales no negativos o al infinito. Por ejemplo, una función de conjunto aditivo contable con valores en los números reales (con signo) se llama medida con signo , mientras que una función de este tipo con valores en los números complejos se llama medida compleja . Las medidas que toman valores en los espacios de Banach se han estudiado ampliamente. ^[2] Una medida que toma valores en el conjunto de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert se denomina medida con valores de proyección ; estos se utilizan en el análisis funcional para el teorema espectral. Cuando es necesario distinguir las medidas habituales que toman valores no negativos de las generalizaciones, se utiliza el término medida positiva . Las medidas positivas se cierran bajo una combinación cónica pero no una combinación lineal general , mientras que las medidas con signo son el cierre lineal de las medidas positivas.

Otra generalización es la medida finitamente aditiva , también conocida como contenido . Esto es lo mismo que una medida, excepto que en lugar de requerir una aditividad contable , solo requerimos una aditividad finita . Históricamente, esta definición se utilizó primero. Resulta que, en general, las medidas finamente aditivas están conectadas con nociones como los límites de Banach , el dual de L ∞ y la compactación Stone-Čech . Todos estos están vinculados de una forma u otra al axioma de elección . Los contenidos siguen siendo útiles en ciertos problemas técnicos de la teoría de medidas geométricas ; esta es la teoría deMedidas de Banach .

Una carga es una generalización en ambas direcciones: es una medida con signo finitamente aditivo.

Ver también

• Álgebra de Abelian von Neumann
• Casi en cualquier parte
• Teorema de extensión de Carathéodory
• Contenido (teoría de la medida)
• Teorema de Fubini
• Lema de Fatou
• Teoría de la medida difusa
• Teoría de la medida geométrica
• Medida de Hausdorff
• Medida interior
• Integración de Lebesgue
• Medida de Lebesgue
• Espacio Lorentz
• Teoría de elevación
• Cardinal medible
• Función medible
• Contenido de Minkowski
• Medida exterior
• Medida del producto
• Medida de avance
• Medida regular
• Medida vectorial
• Valoración (teoría de la medida)
• Forma de volumen

Referencias

1. Halmos, Paul (1950), teoría de la medida , Van Nostrand and Co.
2. Rao, MM (2012), medidas aleatorias y vectoriales , serie sobre análisis multivariante, 9 , World Scientific , ISBN 978-981-4350-81-5, MR  2840012.

Bibliografía

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• Bauer, H. (2001), Teoría de la medida e integración , Berlín: de Gruyter, ISBN 978-3110167191
• Bear, HS (2001), A Primer of Lebesgue Integration , San Diego: Academic Press, ISBN 978-0120839711
• Bogachev, VI (2006), teoría de la medida , Berlín: Springer, ISBN 978-3540345138
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integración I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 Capítulo III.
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• Folland, Gerald B. (1999), Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones , John Wiley and Sons, ISBN 0471317160 Segunda edicion.
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• ME Munroe, 1953. Introducción a la medida y la integración . Addison Wesley.
• KPS Bhaskara Rao y M. Bhaskara Rao (1983), Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures , Londres: Academic Press, págs. X + 315, ISBN 0-12-095780-9
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• Teschl, Gerald , Topics in Real and Functional Analysis , (notas de la conferencia)
• Tao, Terence (2011). Introducción a la teoría de la medida . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821869192.
• Weaver, Nik (2013). Teoría de la medida y análisis funcional . World Scientific . ISBN 9789814508568.

Enlaces externos

Busque mensurable en Wiktionary, el diccionario gratuito.

• "Medir" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tutorial: teoría de la medida para principiantes