Morfismo de esquemas

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En geometría algebraica, un morfismo de esquemas generaliza un morfismo de variedades algebraicas tal como un esquema generaliza una variedad algebraica . Es, por definición, un morfismo en la categoría de esquemas.

Un esquema, por definición, tiene gráficos afines abiertos y, por lo tanto, un morfismo de esquemas también se puede describir en términos de dichos gráficos (compárese con la definición de morfismo de variedades ). ^[1] Sea ƒ: X → Y un morfismo de esquemas. Si x es un punto de X , dado que ƒ es continua, existen subconjuntos afines abiertos U = Spec A de X que contienen x y V = Spec B de Y tales que ƒ( U ) ⊂ V . Entonces ƒ: U → V es un morfismo deesquemas afines y, por lo tanto, es inducido por algún homomorfismo de anillo B → A (cf. caso #Affine ). De hecho, se puede usar esta descripción para "definir" un morfismo de esquemas; se dice que ƒ: X → Y es un morfismo de esquemas si es localmente inducido por homomorfismos de anillos entre anillos de coordenadas de cartas afines.

Sea f  : X → Y un morfismo de esquemas con . Entonces, para cada punto x de X , los homomorfismos en los tallos:${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

es un homomorfismo de anillo local : es decir, y por lo tanto induce un homomorfismo inyectivo de campos de residuos${\displaystyle \phi ({\mathfrak {m}}_{f(x)})\subconjunto {\mathfrak {m}}_{x}}$

(De hecho, φ asigna la n -ésima potencia de un ideal maximal a la n -ésima potencia del ideal maximal y, por lo tanto, induce la aplicación entre los espacios cotangentes (Zariski) .)

que es un isomorfismo si y sólo si X es afín; θ se obtiene pegando U → objetivo que proviene de restricciones para abrir subconjuntos afines U de X. Este hecho también puede enunciarse como sigue: para cualquier esquema X y un anillo A , existe una biyección natural:

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