En geometría algebraica , el espacio tangente de Zariski es una construcción que define un espacio tangente en un punto P en una variedad algebraica V (y más generalmente). No utiliza cálculo diferencial , ya que se basa directamente en el álgebra abstracta y, en los casos más concretos, solo en la teoría de un sistema de ecuaciones lineales .
Motivación
Por ejemplo, supongamos que dada una curva plana C definida por una ecuación polinomial
- F (X, Y) = 0
y tome P como el origen (0,0). Borrar términos de orden superior a 1 produciría una lectura de ecuación 'linealizada'
- L (X, Y) = 0
en el que todos los términos X a Y b se han descartado si a + b> 1 .
Tenemos dos casos: L puede ser 0 o puede ser la ecuación de una línea. En el primer caso, el espacio tangente (Zariski) a C en (0,0) es el plano completo, considerado como un espacio afín bidimensional . En el segundo caso, el espacio tangente es esa línea, considerada como espacio afín. (La cuestión del origen surge cuando tomamos P como un punto general en C ; es mejor decir 'espacio afín' y luego notar que P es un origen natural, en lugar de insistir directamente en que es un espacio vectorial . )
Es fácil ver que en el campo de bienes podemos obtener L en términos de las primeras derivadas parciales de F . Cuando ambos son 0 en P , tenemos un punto singular ( punto doble , cúspide o algo más complicado). La definición general es que los puntos singulares de C son los casos en que el espacio tangente tiene dimensión 2.
Definición
El espacio cotangente de un anillo local R , con ideal máximo se define como
dónde 2 viene dado por el producto de ideales . Es un espacio vectorial sobre el campo de residuos k: = R /. Su dual (como k espacio-vector) se llama espacio tangente de R . [1]
Esta definición es una generalización del ejemplo anterior para dimensiones superiores: Supongamos que dado una affine variedad algebraica V y un punto de v de V . Moralmente, modding2 corresponde a eliminar los términos no lineales de las ecuaciones que definen a V dentro de algún espacio afín, dando así un sistema de ecuaciones lineales que definen el espacio tangente.
El espacio tangente y espacio cotangente a un esquema X en un punto P es el espacio (co) tangente de. Debido a la funcionalidad de Spec , el mapa del cociente natural induce un homomorfismo para X = Spec ( R ), P un punto en Y = Spec ( R / I ). Esto se usa para incrustar en . [2] Dado que los morfismos de los campos son inyectivos, la sobreyección de los campos de residuos inducida por g es un isomorfismo. Entonces un morfismo k de los espacios cotangentes es inducido por g , dado por
Dado que se trata de una sobreyección, la transposición es una inyección.
(A menudo se definen los espacios tangente y cotangente para una variedad de manera análoga).
Funciones analíticas
Si V es una subvariedad de un espacio vectorial n- dimensional, definido por un I ideal , entonces R = F n / I , donde F n es el anillo de funciones lisas / analíticas / holomórficas en este espacio vectorial. El espacio tangente de Zariski en x es
- m n / (yo + m n 2 ),
donde m n es el ideal máximo que consiste en aquellas funciones en F n que desaparecen en x .
En el ejemplo plano anterior, I = ⟨F⟩ e I + m 2 =
Propiedades
Si R es un anillo local noetheriano , la dimensión del espacio tangente es al menos la dimensión de R :
- dim m / m 2 ≧ dim R
R se llama regular si se cumple la igualdad. En un lenguaje más geométrico, cuando R es el anillo local de una variedad V en v , también se dice que v es un punto regular. De lo contrario, se llama punto singular .
El espacio tangente tiene una interpretación en términos de homomorfismos a los números duales de K ,
- K [t] / t 2 :
en el lenguaje de los esquemas , los morfismos Spec K [t] / t 2 a un esquema X sobre K corresponden a una elección de un punto racional x ∈ X (k) y un elemento del espacio tangente en x . [3] Por tanto, también se habla de vectores tangentes . Ver también: espacio tangente a un funtor .
Ver también
Referencias
- ^ Eisenbud 1998 , I.2.2, pág. 26
- ^ Suavidad y el espacio tangente de Zariski , James McKernan, 18.726 Primavera 2011 Conferencia 5
- ^ Hartshorne 1977 , ejercicio II 2.8
Libros
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- David Eisenbud ; Joe Harris (1998). La geometría de los esquemas . Springer-Verlag . ISBN 0-387-98637-5.
enlaces externos
- Espacio tangente de Zariski . VI Danilov (creador), Enciclopedia de Matemáticas.