En matemáticas , el campo de residuos es una construcción básica en álgebra conmutativa . Si R es un anillo conmutativo y m es un ideal máximo , entonces el campo de residuos es el anillo cociente k = R / m , que es un campo . [1] Con frecuencia, R es un anillo local y m es entonces su único ideal máximo.
Esta construcción se aplica en geometría algebraica , donde a cada punto x de un esquema X se asocia su campo de residuos k ( x ). [2] Se puede decir un poco vagamente que el campo de residuos de un punto de una variedad algebraica abstracta es el "dominio natural" de las coordenadas del punto. [ aclaración necesaria ]
Definición
Suponga que R es un anillo local conmutativo , con el ideal máximo m . Entonces el campo de residuos es el anillo cociente R / m .
Ahora supongamos que X es un esquema y x es un punto de X . Según la definición de esquema, podemos encontrar un vecindario afín U = Spec ( A ), con A algún anillo conmutativo . Considerado en la vecindad U , el punto x corresponde a un ideal primo p ⊂ A (ver topología de Zariski ). El anillo local de X en x es por definición la localización R = A p , con el ideal máximo m = p · A p . Aplicando la construcción anterior, obtenemos el campo de residuos del punto x :
- k ( x ): = A p / p · A p .
Se puede demostrar que esta definición no depende de la elección del barrio afín T . [3]
Un punto se denomina K -racional para un determinado campo K , si k ( x ) = K . [4]
Ejemplo
Considere la línea afín A 1 ( k ) = Spec ( k [ t ]) sobre un campo k . Si k es algebraicamente cerrado , hay exactamente dos tipos de ideales primos, a saber
- ( t - a ), a ∈ k
- (0), el ideal cero.
Los campos de residuos son
- , el campo de función sobre k en una variable.
Si k no está cerrada algebraicamente, surgen entonces más tipos, por ejemplo, si k = R , entonces el ideal primo ( x 2 + 1) tiene campo residuo isomorfo a C .
Propiedades
- Para un esquema local de tipo finito sobre un campo k , un punto x se cierra si y solo si k ( x ) es una extensión finita del campo base k . Ésta es una formulación geométrica del Nullstellensatz de Hilbert . En el ejemplo anterior, los puntos del primer tipo son cerrados, con un campo de residuo k , mientras que el segundo punto es el punto genérico , que tiene un grado de trascendencia 1 sobre k .
- Un morfismo Spec ( K ) → X , K algún campo, es equivalente a dar un punto x ∈ X y una extensión K / k ( x ).
- La dimensión de un esquema de tipo finito sobre un campo es igual al grado de trascendencia del campo residual del punto genérico.
Referencias
- ^ Dummit, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3 ed.). Wiley. ISBN 9780471433347.
- ^ David Mumford (1999). El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos (2ª ed.). Springer-Verlag. doi : 10.1007 / b62130 . ISBN 3-540-63293-X.
- ^ Intuitivamente, el campo de residuos de un punto es un invariante local. Los axiomas de los esquemas se establecen de tal manera que aseguren la compatibilidad entre varios vecindarios abiertos afines de un punto, lo que implica el enunciado.
- ^ Görtz, Ulrich y Wedhorn, Torsten. Geometría algebraica: Parte 1: Esquemas (2010) Vieweg + Teubner Verlag.
Otras lecturas
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, sección II.2