En matemáticas , una curva de orientación positiva es una curva plana simple cerrada (es decir, una curva en el plano cuyo punto de partida es también el punto final y que no tiene otras auto-intersecciones) de tal manera que al viajar por ella siempre se tiene la curva. interior a la izquierda (y en consecuencia, la curva exterior a la derecha). Si en la definición anterior uno intercambia izquierda y derecha, se obtiene una curva de orientación negativa .
Para esta definición es crucial el hecho de que toda curva cerrada simple admite un interior bien definido; que se sigue del teorema de la curva de Jordan .
Todas las curvas cerradas simples se pueden clasificar como orientadas negativamente (en el sentido de las agujas del reloj ), orientadas positivamente (en el sentido contrario a las agujas del reloj ) o no orientables . El bucle interior de una carretera de circunvalación en los Estados Unidos (u otros países donde las personas conducen por el lado derecho de la carretera) sería un ejemplo de una curva con orientación negativa (en el sentido de las agujas del reloj). Un círculo orientado en sentido antihorario es un ejemplo de una curva de orientación positiva. El mismo círculo orientado en el sentido de las agujas del reloj sería una curva orientada negativamente.
El concepto de orientación de una curva es solo un caso particular de la noción de orientación de una variedad (es decir, además de la orientación de una curva, también se puede hablar de orientación de una superficie , hipersuperficie , etc.). Aquí, el interior y el exterior de una curva heredan la orientación habitual del plano. La orientación positiva en la curva es entonces la orientación que hereda como límite de su interior; la orientación negativa se hereda del exterior.
Orientación de un polígono simple
En dos dimensiones, dado un conjunto ordenado de tres o más vértices conectados (puntos) (como en conectar los puntos ) que forma un polígono simple , la orientación del polígono resultante está directamente relacionada con el signo del ángulo en cualquier vértice del casco convexo del polígono, por ejemplo, del ángulo ABC en la imagen. En los cálculos, el signo del ángulo más pequeño formado por un par de vectores suele estar determinado por el signo del producto cruzado de los vectores. Este último puede calcularse como el signo del determinante de su matriz de orientación. En el caso particular cuando los dos vectores están definidos por dos segmentos de línea con punto final común, como los lados BA y BC del ángulo ABC en nuestro ejemplo, la matriz de orientación se puede definir de la siguiente manera:
Se puede obtener una fórmula para su determinante, por ejemplo, usando el método de expansión del cofactor :
Si el determinante es negativo, entonces el polígono está orientado en el sentido de las agujas del reloj. Si el determinante es positivo, el polígono se orienta en sentido antihorario. El determinante es distinto de cero si los puntos A, B y C no son colineales . En el ejemplo anterior, con los puntos ordenados A, B, C, etc., el determinante es negativo y, por lo tanto, el polígono está en el sentido de las agujas del reloj.
Consideraciones prácticas
En aplicaciones prácticas, se suelen tener en cuenta las siguientes consideraciones.
No es necesario construir el casco convexo de un polígono para encontrar un vértice adecuado. Una opción común es el vértice del polígono con la coordenada X más pequeña. Si hay varios de ellos, se elige el que tiene la coordenada Y más pequeña. Se garantiza que es un vértice del casco convexo del polígono. Alternativamente, el vértice con la coordenada Y más pequeña entre los que tienen las coordenadas X más grandes o el vértice con la coordenada X más pequeña entre los que tienen las coordenadas Y más grandes (o cualquier otro de 8 "más pequeñas, más grandes" X / Y combinaciones) también servirán. Una vez que se elige un vértice del casco convexo, se puede aplicar la fórmula utilizando los vértices anterior y siguiente, incluso si no están en el casco convexo, ya que no puede haber concavidad local en este vértice.
Si se busca la orientación de un polígono convexo , entonces, por supuesto, se puede elegir cualquier vértice.
Por razones numéricas, comúnmente se usa la siguiente fórmula equivalente para el determinante:
La última fórmula tiene cuatro multiplicaciones menos. Lo que es más importante en los cálculos por computadora involucrados en la mayoría de las aplicaciones prácticas, como gráficos por computadora o CAD , los valores absolutos de los multiplicadores suelen ser más pequeños (por ejemplo, cuando A, B, C están dentro del mismo cuadrante ), lo que da un valor numérico más pequeño. error o, en los casos extremos, evitar el desbordamiento aritmético .
Cuando no se sabe de antemano que la secuencia de puntos define un polígono simple, se deben tener en cuenta las siguientes cosas.
Para un polígono que se interseca automáticamente ( polígono complejo ) (o para cualquier curva que se interseca automáticamente) no existe una noción natural de "interior", por lo que la orientación no está definida. Al mismo tiempo, en geometría y gráficos por computadora hay una serie de conceptos que reemplazan la noción de "interior" por curvas cerradas no simples; ver, por ejemplo, " relleno de inundación " y " número de bobinado ".
En casos "leves" de auto-intersección, con vértices degenerados cuando se permiten tres puntos consecutivos estar en la misma línea recta y formar un ángulo de cero grados, el concepto de "interior" todavía tiene sentido, pero se debe tener un cuidado adicional en la selección del ángulo probado. En el ejemplo dado, imagine que el punto A se encuentra en el segmento BC. En esta situación, el ángulo ABC y su determinante será 0, por lo tanto, inútil. Una solución es probar las esquinas consecutivas a lo largo del polígono (BCD, DEF, ...) hasta que se encuentre un determinante distinto de cero (a menos que todos los puntos se encuentren en la misma línea recta ). (Observe que los puntos C, D, E están en la misma línea y forman un ángulo de 180 grados con determinante cero).
Concavidad local
Una vez que se conoce la orientación de un polígono formado a partir de un conjunto ordenado de vértices, se puede determinar la concavidad de una región local del polígono usando una segunda matriz de orientación. Esta matriz se compone de tres vértices consecutivos que se examinan para determinar la concavidad. Por ejemplo, en el polígono que se muestra arriba, si quisiéramos saber si la secuencia de puntos FGH es cóncava , convexa o colineal (plana), construimos la matriz
Si el determinante de esta matriz es 0, entonces la secuencia es colineal, ni cóncava ni convexa. Si el determinante tiene el mismo signo que el de la matriz de orientación para todo el polígono, entonces la secuencia es convexa. Si los signos difieren, entonces la secuencia es cóncava. En este ejemplo, el polígono está orientado negativamente, pero el determinante de los puntos FGH es positivo, por lo que la secuencia FGH es cóncava.
La siguiente tabla ilustra las reglas para determinar si una secuencia de puntos es convexa, cóncava o plana:
Polígono orientado negativamente (en el sentido de las agujas del reloj) | Polígono orientado positivamente (en sentido antihorario) | |
---|---|---|
El determinante de la matriz de orientación para los puntos locales es negativo. | secuencia convexa de puntos | secuencia cóncava de puntos |
determinante de la matriz de orientación para puntos locales es positivo | secuencia cóncava de puntos | secuencia convexa de puntos |
El determinante de la matriz de orientación para puntos locales es 0 | secuencia colineal de puntos | secuencia colineal de puntos |