En matemáticas (específicamente cálculo multivariable ), una integral múltiple es una integral definida de una función de varias variables reales , por ejemplo, f ( x , y ) o f ( x , y , z ) . Integrales de una función de dos variables sobre una región en(el plano de los números reales ) se denominan integrales dobles y las integrales de una función de tres variables sobre una región en(espacio 3D de números reales) se denominan integrales triples . [1] Para múltiples integrales de una función de una sola variable, consulte la fórmula de Cauchy para la integración repetida .
Introducción
Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x , la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función (en el plano cartesiano tridimensional donde z = f ( x , y ) ) y el plano que contiene su dominio . [1] Si hay más variables, una integral múltiple producirá hipervolúmenes de funciones multidimensionales.
Integración múltiple de una función en n variables: f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) sobre un dominio D se representa más comúnmente mediante signos integrales anidados en el orden inverso de ejecución (el signo integral más a la izquierda se calcula en último lugar ), seguido de la función y los argumentos del integrando en el orden correcto (la integral con respecto al argumento más a la derecha se calcula en último lugar). El dominio de integración se representa simbólicamente para cada argumento sobre cada signo integral, o se abrevia con una variable en el signo integral más a la derecha: [2]
Dado que el concepto de antiderivada solo se define para funciones de una única variable real, la definición habitual de integral indefinida no se extiende inmediatamente a la integral múltiple.
Definición matemática
Para n > 1 , considere un dominio T hiperrectangular n- dimensional "semiabierto" , definido como:
Divida cada intervalo [ a j , b j ) en una familia finita I j de subintervalos no superpuestos i j α , con cada subintervalo cerrado en el extremo izquierdo y abierto en el extremo derecho.
Entonces la familia finita de subrectangulos C dada por
es una partición de T ; Es decir, el subrectángulos C k son que no se solapan y su unión es T .
Deje f : T → R sea una función definida en T . Considere una partición C de T como se define arriba, tal que C es una familia de m subrectangulos C m y
Podemos aproximar el volumen total ( n + 1) enésima dimensión limitado abajo por el hiperrectángulo n -dimensional T y arriba por la gráfica n- dimensional de f con la siguiente suma de Riemann :
donde P k es un punto en C k y m ( C k ) es el producto de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es C k , también conocido como la medida de C k .
El diámetro de un subrectangulo C k es el mayor de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es C k . El diámetro de una partición dada de T se define como el mayor de los diámetros de los subrectangulos en la partición. Intuitivamente, a medida que el diámetro de la partición C se restringe cada vez más, el número de subrectángulos m aumenta y la medida m ( C k ) de cada subrectángulo se hace más pequeña. Se dice que la función f es integrable de Riemann si el límite
existe, donde el límite se toma sobre todas las posibles particiones de T de diámetro como máximo δ . [3]
Si f es integrable de Riemann, S se denomina integral de Riemann de f sobre T y se denota
Con frecuencia, esta notación se abrevia como
donde x representa la n- tupla ( x 1 ,…, x n ) y d n x es la n -dimensional diferencial de volumen .
La integral de Riemann de una función definida sobre un conjunto n- dimensional arbitrario acotado se puede definir extendiendo esa función a una función definida sobre un rectángulo semiabierto cuyos valores son cero fuera del dominio de la función original. Entonces, la integral de la función original sobre el dominio original se define como la integral de la función extendida sobre su dominio rectangular, si existe.
En lo que sigue, la integral de Riemann en n dimensiones se denominará integral múltiple .
Propiedades
Las integrales múltiples tienen muchas propiedades comunes a las integrales de funciones de una variable (linealidad, conmutatividad, monotonicidad, etc.). Una propiedad importante de las integrales múltiples es que el valor de una integral es independiente del orden de los integrandos bajo ciertas condiciones. Esta propiedad se conoce popularmente como teorema de Fubini . [4]
Casos particulares
En el caso de , la integral
es la integral doble de f en T , y si la integral
es la integral triple de f en T .
Observe que, por convención, la integral doble tiene dos signos integrales y la integral triple tiene tres; esta es una convención de notación que es conveniente cuando se calcula una integral múltiple como una integral iterada, como se muestra más adelante en este artículo.
Métodos de integración
La resolución de problemas con múltiples integrales consiste, en la mayoría de los casos, en encontrar una manera de reducir la integral múltiple a una integral iterada , una serie de integrales de una variable, cada una de las cuales se puede resolver directamente. Para funciones continuas, esto está justificado por el teorema de Fubini . A veces, es posible obtener el resultado de la integración mediante un examen directo sin ningún cálculo.
Los siguientes son algunos métodos simples de integración: [1]
Integrando funciones constantes
Cuando el integrando es una función constante c , la integral es igual al producto de c por la medida del dominio de integración. Si c = 1 y el dominio es una subregión de R 2 , la integral da el área de la región, mientras que si el dominio es una subregión de R 3 , la integral da el volumen de la región.
Ejemplo. Sea f ( x , y ) = 2 y
en ese caso
ya que por definición tenemos:
Uso de la simetría
Cuando el dominio de integración es simétrico con respecto al origen con respecto a al menos una de las variables de integración y el integrando es impar con respecto a esta variable, la integral es igual a cero, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio tienen el mismo valor absoluto pero con signos opuestos. Cuando el integrando es par con respecto a esta variable, la integral es igual al doble de la integral sobre la mitad del dominio, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio son iguales.
Ejemplo 1. Considere la función f ( x , y ) = 2 sin ( x ) - 3 y 3 + 5 integrada sobre el dominio
un disco con radio 1 centrado en el origen con el límite incluido.
Usando la propiedad de linealidad, la integral se puede descomponer en tres partes:
La función 2 sin ( x ) es una función impar en la variable x y el disco T es simétrico con respecto al eje y , por lo que el valor de la primera integral es 0. De manera similar, la función 3 y 3 es una función impar de y , y T es simétrica con respecto al eje x , por lo que la única contribución al resultado final es la de la tercera integral. Por lo tanto, la integral original es igual al área del disco multiplicada por 5, o 5 π .
Ejemplo 2. Considere la función f ( x , y , z ) = x exp ( y 2 + z 2 ) y como región de integración la bola con radio 2 centrada en el origen,
La "bola" es simétrica con respecto a los tres ejes, pero es suficiente para integrar con respecto al eje x para mostrar que la integral es 0, porque la función es una función impar de esa variable.
Dominios normales en R 2
Este método es aplicable a cualquier dominio D para el que:
- la proyección de D en o bien el x eje x o la y eje y está delimitada por los dos valores, un y b
- cualquier línea perpendicular a este eje que pase entre estos dos valores interseca el dominio en un intervalo cuyos extremos están dados por las gráficas de dos funciones, α y β .
Este dominio se denominará aquí dominio normal . En otras partes de la bibliografía, los dominios normales a veces se denominan dominios de tipo I o de tipo II, según el eje sobre el que esté fibrado el dominio. En todos los casos, la función a integrar debe ser integrable de Riemann en el dominio, lo cual es verdadero (por ejemplo) si la función es continua.
eje x
Si el dominio D es normal con respecto al eje x , yf : D → R es una función continua ; entonces α ( x ) y β ( x ) (ambos de los cuales se definen en el intervalo [ a , b ] ) son las dos funciones que determinan D . Entonces, por el teorema de Fubini: [5]
eje y
Si D es normal con respecto a la y eje x y f : D → R es una función continua; entonces α ( y ) y β ( y ) (ambos de los cuales se definen en el intervalo [ a , b ] ) son las dos funciones que determinan D . Nuevamente, por el teorema de Fubini:
Dominios normales en R 3
Si T es un dominio que es normal con respecto al plano xy y está determinado por las funciones α ( x , y ) y β ( x , y ) , entonces
Esta definición es la misma para los otros cinco casos de normalidad en R 3 . Se puede generalizar de forma sencilla a dominios en R n .
Cambio de variables
Los límites de la integración a menudo no son fácilmente intercambiables (sin normalidad o con fórmulas complejas para integrar). Se hace un cambio de variables para reescribir la integral en una región más "cómoda", que se puede describir con fórmulas más simples. Para ello, la función debe adaptarse a las nuevas coordenadas.
Ejemplo 1a. La función es f ( x , y ) = ( x - 1) 2 + √ y ; si se adopta la sustitución u = x - 1 , v = y por tanto x = u + 1 , y = v se obtiene la nueva función f 2 ( u , v ) = ( u ) 2 + √ v .
- De manera similar para el dominio porque está delimitada por las variables originales que fueron transformadas antes de ( x y y en el ejemplo).
- los diferenciales dx y dy se transforman mediante el valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana que contiene las derivadas parciales de las transformaciones respecto a la nueva variable (considérese, como ejemplo, la transformación diferencial en coordenadas polares).
Existen tres "tipos" principales de cambios de variable (uno en R 2 , dos en R 3 ); sin embargo, se pueden realizar sustituciones más generales utilizando el mismo principio.
Coordenadas polares
En R 2 si el dominio tiene una simetría circular y la función tiene algunas características particulares se puede aplicar la transformación a coordenadas polares (ver el ejemplo en la imagen) lo que significa que los puntos genéricos P ( x , y ) en coordenadas cartesianas cambian a sus respectivos puntos en coordenadas polares. Eso permite cambiar la forma del dominio y simplificar las operaciones.
La relación fundamental para realizar la transformación es la siguiente:
Ejemplo 2a. La función es f ( x , y ) = x + y y aplicando la transformación se obtiene
Ejemplo 2b. La función es f ( x , y ) = x 2 + y 2 , en este caso se tiene:
utilizando la identidad trigonométrica pitagórica (muy útil para simplificar esta operación).
La transformación del dominio se realiza definiendo la longitud de la corona del radio y la amplitud del ángulo descrito para definir los intervalos ρ , φ a partir de x , y .
Ejemplo 2c. El dominio es D = { x 2 + y 2 ≤ 4} , que es una circunferencia de radio 2; es evidente que el ángulo cubierto es el ángulo del círculo, por lo que φ varía de 0 a 2 π , mientras que el radio de la corona varía de 0 a 2 (la corona con el radio interior nulo es solo un círculo).
Ejemplo 2d. El dominio es D = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, y ≥ 0} , que es la corona circular en el semiplano y positivo (consulte la imagen del ejemplo); φ describe un ángulo plano mientras que ρ varía de 2 a 3. Por lo tanto, el dominio transformado será el siguiente rectángulo :
El determinante jacobiano de esa transformación es el siguiente:
que ha sido obtenido mediante la inserción de las derivadas parciales de x = rho cos ( phi ) , y = ρ sin ( φ ) en la primera respecto columna para rho y en el segundo respecto a φ , por lo que los dx dy diferenciales en esta transformación convertido ρ dρ dφ .
Una vez transformada la función y evaluado el dominio, es posible definir la fórmula para el cambio de variables en coordenadas polares:
φ es válido en el intervalo [0, 2π] mientras que ρ , que es una medida de una longitud, solo puede tener valores positivos.
Ejemplo 2e. La función es f ( x , y ) = x y el dominio es el mismo que en el Ejemplo 2d. Del análisis anterior de D conocemos los intervalos de ρ (de 2 a 3) y de φ (de 0 a π ). Ahora cambiamos la función:
finalmente apliquemos la fórmula de integración:
Una vez que se conocen los intervalos, tiene
Coordenadas cilíndricas
En R 3, la integración en dominios de base circular se puede realizar mediante el paso a coordenadas cilíndricas ; la transformación de la función se realiza mediante la siguiente relación:
La transformación del dominio se puede lograr gráficamente, porque solo varía la forma de la base, mientras que la altura sigue la forma de la región inicial.
Ejemplo 3a. La región es D = { x 2 + y 2 ≤ 9, x 2 + y 2 ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (que es el "tubo" cuya base es la corona circular del Ejemplo 2d y cuya altura es 5) ; si se aplica la transformación, se obtiene esta región:
(es decir, el paralelepípedo cuya base es similar al rectángulo del Ejemplo 2d y cuya altura es 5).
Debido a que el componente z no varía durante la transformación, los diferenciales dx dy dz varían como en el paso a las coordenadas polares: por lo tanto, se convierten en ρ dρ dφ dz .
Finalmente, es posible aplicar la fórmula final a coordenadas cilíndricas:
Este método es conveniente en el caso de dominios cilíndricos o cónicos o en regiones donde es fácil individualizar el intervalo z e incluso transformar la base circular y la función.
Ejemplo 3b. La función es f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z y como dominio de integración este cilindro : D = { x 2 + y 2 ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . La transformación de D en coordenadas cilíndricas es la siguiente:
mientras que la función se convierte en
Finalmente, se puede aplicar la fórmula de integración:
desarrollando la fórmula que tienes
Coordenadas esféricas
En R 3, algunos dominios tienen una simetría esférica, por lo que es posible especificar las coordenadas de cada punto de la región de integración en dos ángulos y una distancia. Por tanto, es posible utilizar el paso a coordenadas esféricas ; la función es transformada por esta relación:
Los puntos en el eje z no tienen una caracterización precisa en coordenadas esféricas, por lo que θ puede variar entre 0 y 2 π .
El mejor dominio de integración para este pasaje es la esfera.
Ejemplo 4a. El dominio es D = x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 (esfera con radio 4 y centro en el origen); aplicando la transformación se obtiene la región
El determinante jacobiano de esta transformación es el siguiente:
Los diferenciales dx dy dz, por lo tanto, se transforman en ρ 2 sen ( φ ) dρ dθ dφ .
Esto produce la fórmula de integración final:
Es mejor utilizar este método en el caso de dominios esféricos y en el caso de funciones que pueden simplificarse fácilmente mediante la primera relación fundamental de trigonometría extendida a R 3 (ver Ejemplo 4b); en otros casos, puede ser mejor utilizar coordenadas cilíndricas (ver Ejemplo 4c).
El extra ρ 2 y el pecado φ provienen del jacobiano.
En los siguientes ejemplos, los roles de φ y θ se han invertido.
Ejemplo 4b. D es la misma región que en el Ejemplo 4a y f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 es la función a integrar. Su transformación es muy fácil:
mientras conocemos los intervalos de la región transformada T de D :
Por tanto, aplicamos la fórmula de integración:
y, desarrollando, obtenemos
Ejemplo 4c. El dominio D es la bola con centro en el origen y radio 3 a ,
y f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 es la función a integrar.
Mirando el dominio, parece conveniente adoptar el paso a coordenadas esféricas, de hecho, los intervalos de las variables que delimitan la nueva región T son obviamente:
Sin embargo, aplicando la transformación, obtenemos
Aplicando la fórmula de integración obtenemos:
que se puede resolver convirtiéndolo en una integral iterada.
.,
,
.
Recogiendo todas las partes,.
Alternativamente, este problema se puede resolver utilizando el pasaje a coordenadas cilíndricas. Los nuevos intervalos T son
el intervalo z se ha obtenido dividiendo la bola en dos hemisferios simplemente resolviendo la desigualdad de la fórmula de D (y luego transformando directamente x 2 + y 2 en ρ 2 ). La nueva función es simplemente ρ 2 . Aplicar la fórmula de integración
Entonces obtenemos
Gracias al paso a coordenadas cilíndricas fue posible reducir la integral triple a una integral de una variable más fácil.
Véase también la entrada de volumen diferencial en nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas .
Ejemplos de
Integral doble sobre un rectángulo
Supongamos que deseamos integrar una función multivariable f sobre una región A :
A partir de esto formulamos la integral iterada
La integral interna se realiza primero, integrando con respecto ax y tomando y como constante, ya que no es la variable de integración . El resultado de esta integral, que es una función que depende sólo de y , se integra entonces con respecto a y .
Luego integramos el resultado con respecto ay .
En los casos en que la integral doble del valor absoluto de la función es finita, el orden de integración es intercambiable, es decir, la integración con respecto a x primero y la integración con respecto a y primero producen el mismo resultado. Ese es el teorema de Fubini . Por ejemplo, hacer el cálculo anterior con el orden invertido da el mismo resultado:
Integral doble sobre un dominio normal
Considere la región (consulte el gráfico del ejemplo):
Calcular
Este dominio es normal con respecto a los ejes x e y . Para aplicar las fórmulas es necesario encontrar las funciones que determinan D y los intervalos sobre los que se definen estas funciones. En este caso las dos funciones son:
mientras que el intervalo viene dado por las intersecciones de las funciones con x = 0, entonces el intervalo es [ a , b ] = [0, 1] (se ha elegido la normalidad con respecto al eje x para una mejor comprensión visual).
Ahora es posible aplicar la fórmula:
(al principio se calcula la segunda integral considerando x como constante). El resto de operaciones consisten en aplicar las técnicas básicas de integración:
Si elegimos la normalidad con respecto a la Y eje x podríamos calcular
y obtener el mismo valor.
Calcular el volumen
Utilizando los métodos descritos anteriormente, es posible calcular los volúmenes de algunos sólidos comunes.
- Cilindro : El volumen de un cilindro con altura hy base circular de radio R se puede calcular integrando la función constante h sobre la base circular, utilizando coordenadas polares.
Esto está de acuerdo con la fórmula para el volumen de un prisma.
- Esfera : El volumen de una esfera con radio R se puede calcular integrando la función constante 1 sobre la esfera, utilizando coordenadas esféricas.
- Tetraedro ( pirámide triangularo 3- simplex ): El volumen de un tetraedro con su vértice en el origen y los bordes de longitud ℓ a lo largo de losejes x , y y z se puede calcular integrando la función constante 1 sobre el tetraedro.
- This is in agreement with the formula for the volume of a pyramid
Integral impropia múltiple
In case of unbounded domains or functions not bounded near the boundary of the domain, we have to introduce the double improper integral or the triple improper integral.
Múltiples integrales e integrales iteradas
Fubini's theorem states that if[4]
that is, if the integral is absolutely convergent, then the multiple integral will give the same result as either of the two iterated integrals:
In particular this will occur if |f(x, y)| is a bounded function and A and B are bounded sets.
If the integral is not absolutely convergent, care is needed not to confuse the concepts of multiple integral and iterated integral, especially since the same notation is often used for either concept. The notation
means, in some cases, an iterated integral rather than a true double integral. In an iterated integral, the outer integral
is the integral with respect to x of the following function of x:
A double integral, on the other hand, is defined with respect to area in the xy-plane. If the double integral exists, then it is equal to each of the two iterated integrals (either "dy dx" or "dx dy") and one often computes it by computing either of the iterated integrals. But sometimes the two iterated integrals exist when the double integral does not, and in some such cases the two iterated integrals are different numbers, i.e., one has
This is an instance of rearrangement of a conditionally convergent integral.
On the other hand, some conditions ensure that the two iterated integrals are equal even though the double integral need not exist. By the Fichtenholz–Lichtenstein theorem, if f is bounded on [0, 1] × [0, 1] and both iterated integrals exist, then they are equal. Moreover, existence of the inner integrals ensures existence of the outer integrals.[6][7][8] The double integral need not exist in this case even as Lebesgue integral, according to Sierpiński.[9]
The notation
may be used if one wishes to be emphatic about intending a double integral rather than an iterated integral.
Algunas aplicaciones practicas
Quite generally, just as in one variable, one can use the multiple integral to find the average of a function over a given set. Given a set D ⊆ Rn and an integrable function f over D, the average value of f over its domain is given by
where m(D) is the measure of D.
Additionally, multiple integrals are used in many applications in physics. The examples below also show some variations in the notation.
In mechanics, the moment of inertia is calculated as the volume integral (triple integral) of the density weighed with the square of the distance from the axis:
The gravitational potential associated with a mass distribution given by a mass measure dm on three-dimensional Euclidean space R3 is[10]
If there is a continuous function ρ(x) representing the density of the distribution at x, so that dm(x) = ρ(x)d3x, where d3x is the Euclidean volume element, then the gravitational potential is
In electromagnetism, Maxwell's equations can be written using multiple integrals to calculate the total magnetic and electric fields.[11] In the following example, the electric field produced by a distribution of charges given by the volume charge density ρ( r→ ) is obtained by a triple integral of a vector function:
This can also be written as an integral with respect to a signed measure representing the charge distribution.
Ver también
- Main analysis theorems that relate multiple integrals:
- Divergence theorem
- Stokes' theorem
- Green's theorem
Referencias
- ^ a b c Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
- ^ Larson; Edwards (2014). Multivariable Calculus (10th ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.
- ^ Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd ed.). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
- ^ a b Jones, Frank (2001). Lebesgue Integration on Euclidean Space. Jones and Bartlett. pp. 527–529.[ISBN missing]
- ^ Stewart, James (2015-05-07). Calculus, 8th Edition. Cengage Learning. ISBN 978-1285740621.
- ^ Lewin, Jonathan (2003). An Interactive Introduction to Mathematical Analysis. Cambridge. Sect. 16.6. ISBN 978-1107694040.
- ^ Lewin, Jonathan (1987). "Some applications of the bounded convergence theorem for an introductory course in analysis". The American Mathematical Monthly. AMS. 94 (10): 988–993. doi:10.2307/2322609. JSTOR 2322609.
- ^ Sinclair, George Edward (1974). "A finitely additive generalization of the Fichtenholz–Lichtenstein theorem". Transactions of the American Mathematical Society. AMS. 193: 359–374. doi:10.2307/1996919. JSTOR 1996919.
- ^ Bogachev, Vladimir I. (2006). Measure Theory. 1. Springer. Item 3.10.49.[ISBN missing]
- ^ Kibble, Tom W. B.; Berkshire, Frank H. (2004). Classical Mechanics (5th ed.). Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-424-6.
- ^ Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
Otras lecturas
- Adams, Robert A. (2003). Calculus: A Complete Course (5th ed.). ISBN 0-201-79131-5.
- Jain, R. K.; Iyengar, S. R. K. (2009). Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.). Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7.
- Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 3 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN 978-1-50669-805-2. (PDF)
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Multiple Integral". MathWorld.
- L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Multiple integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Mathematical Assistant on Web online evaluation of double integrals in Cartesian coordinates and polar coordinates (includes intermediate steps in the solution, powered by Maxima (software))