Epigrupo
En álgebra abstracta , un epigrupo es un semigrupo en el que cada elemento tiene una potencia que pertenece a un subgrupo . Formalmente, para todo x en un semigrupo S , existe un entero positivo n y un subgrupo G de S tal que x n pertenece a G.
Los epigrupos se conocen por una amplia variedad de otros nombres, incluido semigrupo cuasi-periódico , semigrupo unido a grupo, semigrupo completamente π-regular, semigrupo fuertemente π-regular ( sπr [1] ), [2] o simplemente semigrupo π-regular [3 ] (aunque este último es ambiguo).
De manera más general, en un semigrupo arbitrario, un elemento se llama ligado al grupo si tiene una potencia que pertenece a un subgrupo.
Los epigrupos tienen aplicaciones a la teoría de anillos . Muchas de sus propiedades se estudian en este contexto. [4]
Por analogía con los semigrupos periódicos, un epigrupo S se divide en clases dadas por sus idempotentes , que actúan como identidades para cada subgrupo. Para cada e idempotente de S , el conjunto: se denomina clase de unipotencia (mientras que para los semigrupos periódicos el nombre habitual es clase de torsión). [5]
Los sub-grupos de un epigrupo no necesitan ser epigrupos, pero si lo son, se denominan subepigrupos. Si un epigrupo S tiene una partición en subepigrupos unipotentes (es decir, cada uno contiene un idempotente único), entonces esta partición es única y sus componentes son precisamente las clases de unipotencia definidas anteriormente; dicho epigrupo se denomina unipotente partible . Sin embargo, no todos los epigrupos tienen esta propiedad. Un contraejemplo simple es el semigrupo de Brandt con cinco elementos B 2 porque la clase de unipotencia de su elemento cero no es un subgrupo. B 2 es en realidad el epigrupo por excelencia que no se puede dividir unipotentemente. Un epigrupo es unipotente partiblesi y solo si no contiene ningún subsemigrupo que sea una extensión ideal de un epigrupo unipotente por B 2 . [5]