Teorema de Schrödinger-HJW

concepto en la teoría de la información cuántica

En teoría de la información cuántica y óptica cuántica , el teorema de Schrödinger-HJW es un resultado sobre la realización de un estado mixto de un sistema cuántico como un conjunto de estados cuánticos puros y la relación entre las purificaciones correspondientes de los operadores de densidad . El teorema lleva el nombre de los físicos y matemáticos Erwin Schrödinger , ^[1] Lane P. Hughston , Richard Jozsa y William Wootters . ^[2] El resultado también fue encontrado de forma independiente por Nicolas Hadjisavvas basándose en el trabajo de Ed Jaynes , ^{[3] [4]}mientras que una parte significativa también fue descubierta de forma independiente por N. David Mermin . ^[5] Gracias a su complicada historia, también se le conoce con varios otros nombres, como el teorema GHJW , ^[6] el teorema HJW y el teorema de purificación .

Purificación de un estado cuántico mixto

Considere un estado mixto del sistema , donde no se supone que los estados sean mutuamente ortogonales. Podemos agregar un espacio auxiliar con una base ortonormal , luego el estado mixto se puede obtener como operador de densidad reducida a partir del estado bipartito puro${\displaystyle \textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$${\displaystyle S}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}$

${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle |a_{i}\rangle .}$

Más precisamente, . El estado se llama así la purificación de . Dado que el espacio auxiliar y la base se pueden elegir arbitrariamente, la purificación de un estado mixto no es única; de hecho, hay infinitas purificaciones de un estado mixto dado.${\displaystyle \rho =\mathrm {Tr} _{A}|\Psi _{SA}\rangle \langle \Psi _{SA}|}$${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$${\displaystyle \rho }$

Teorema de Schrödinger-HJW

Considere un estado cuántico mixto con dos realizaciones diferentes como conjunto de estados puros como y . Aquí no se supone que ambos y sean mutuamente ortogonales. Habrá dos purificaciones correspondientes de la lectura de estado mixto de la siguiente manera:${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$${\displaystyle \textstyle \rho =\sum _{j}q_{j}|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle |\varphi _{j}\rangle }$${\displaystyle \rho }$

La purificación 1: ;${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle |a_{i}\rangle }$

La purificación 2: .${\displaystyle |\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle |b_{j}\rangle }$

Los conjuntos y son dos colecciones de bases ortonormales de los respectivos espacios auxiliares. Estas dos purificaciones solo se diferencian por una transformación unitaria que actúa sobre el espacio auxiliar, es decir, existe una matriz unitaria tal que . ^[7] Por lo tanto, lo que significa que podemos realizar los diferentes conjuntos de un estado mixto simplemente haciendo diferentes mediciones en el sistema de purificación.${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}$${\displaystyle \{|b_{j}\rangle \}}$${\displaystyle U_{A}}$${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle }$${\displaystyle \textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$

Referencias

1. Schrödinger, Erwin (1936). "Relaciones de probabilidad entre sistemas separados". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 32 (3): 446–452. Código Bibliográfico : 1936PCPS ... 32..446S . doi : 10.1017 / S0305004100019137 .
2. Hughston, Lane P .; Jozsa, Richard; Wootters, William K. (noviembre de 1993). "Una clasificación completa de conjuntos cuánticos que tienen una matriz de densidad dada". Physics Letters A . 183 (1): 14–18. Código Bibliográfico : 1993PhLA..183 ... 14H . doi : 10.1016 / 0375-9601 (93) 90880-9 . ISSN 0375-9601 . 
3. Hadjisavvas, Nicolas (1981). "Propiedades de mezclas en estados no ortogonales". Letras en Física Matemática . 5 (4): 327–332. Código Bibliográfico : 1981LMaPh ... 5..327H . doi : 10.1007 / BF00401481 .
4. Jaynes, ET (1957). "Teoría de la información y mecánica estadística. II". Revisión física . 108 (2): 171-190. Código bibliográfico : 1957PhRv..108..171J . doi : 10.1103 / PhysRev.108.171 .
5. Fuchs, Christopher A. (2011). La mayoría de edad con información cuántica: notas sobre una idea pauliana . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-19926-1. OCLC  535491156 .
6. Mermin, N. David (1999). "¿Qué saben estas correlaciones sobre la realidad? La no localidad y el absurdo". Fundamentos de la Física . 29 (4): 571–587. arXiv : quant-ph / 9807055 . Código bibliográfico : 1998quant.ph..7055M . doi : 10.1023 / A: 1018864225930 .
7. Kirkpatrick, KA (febrero de 2006). "El teorema de Schrödinger-HJW". Fundamentos de las letras de la física . 19 (1): 95–102. arXiv : quant-ph / 0305068 . Código Bibliográfico : 2006FoPhL..19 ... 95K . doi : 10.1007 / s10702-006-1852-1 . ISSN 0894-9875 .